(2.0 điểm)
1. Cho dãy số $(u_n)$ là một cấp số nhân có số hàng đầu $u_1=1$, công bội $q=2$. Chứng minh rằng: $\frac{1}{u_3-u_1}+\frac{1}{u_4-u_2}+\frac{1}{u_5-u_3}+...+\frac{1}{u_{2025}-u_{2023}}<\frac{2}{3}$.
2. Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi: $$\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ u_{n+1}=4u_n+3.4^n+6,n\in N^{\ast }\end{array}.$$ Tìm số hạng tổng quát $u_n$.

(AI giải đề cho tôi)
**Câu 19, Phần 2 (2.0 điểm)**

**1.** Cấp số nhân có $u_1=1$, $q=2$ nên $u_n=2^{n-1}$.

Với mỗi $k\in \{1,2,\dots ,2023\}$, ta có:
$$u_{k+2}-u_k=2^{k+1}-2^{k-1}=2^{k-1}(4-1)=3\cdot 2^{k-1}.$$
Do đó:
$$\frac{1}{u_{k+2}-u_k}=\frac{1}{3\cdot 2^{k-1}}.$$
Tổng cần xét là tổng với $k$ từ $1$ đến $2023$:
$$S=\sum _{k=1}^{2023}\frac{1}{3\cdot 2^{k-1}}=\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{2^{2022}}\right).$$
Đây là tổng của cấp số nhân đầu $1$, công bội $\frac{1}{2}$, gồm $2023$ số hạng:
$$S=\frac{1}{3}\cdot \frac{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2023}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}\left(1-\frac{1}{2^{2023}}\right).$$
Vì $1-\frac{1}{2^{2023}}<1$ nên $S<\frac{2}{3}$. Đpcm.

**2.** Ta có $u_{n+1}=4u_n+3\cdot 4^n+6$, $u_1=1$.

Chia hai vế cho $4^n$:
$$\frac{u_{n+1}}{4^n}=\frac{u_n}{4^{n-1}}+3+\frac{6}{4^n}.$$
Đặt $w_n=\frac{u_n}{4^{n-1}}$, khi đó $w_{n+1}=w_n+3+\frac{6}{4^n}$ với $w_1=1$.

Cộng theo $n$ từ $1$ đến $n-1$ ($n\ge 2$):
$$w_n=w_1+3(n-1)+6\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{4^k}=1+3(n-1)+6\cdot \frac{\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{4^{n-1}}\right)}{1-\frac{1}{4}}.$$
Tính tổng cấp số nhân: $6\cdot \frac{1-4^{-(n-1)}}{3}=2\left(1-4^{1-n}\right)$.

Suy ra:
$$w_n=1+3n-3+2-2\cdot 4^{1-n}=3n-2\cdot 4^{1-n}.$$
Vậy:
$$u_n=4^{n-1}{w}_n=4^{n-1}\left(3n-2\cdot 4^{1-n}\right)=3n\cdot 4^{n-1}-2.$$

Kiểm tra: $n=1$: $u_1=3-2=1$ ✓; $n=2$: theo hệ thức $u_2=4\cdot 1+3\cdot 4+6=22$, theo công thức $u_2=6\cdot 4-2=22$ ✓; $n=3$: $u_3=4\cdot 22+3\cdot 16+6=142$, công thức $9\cdot 16-2=142$ ✓.

Kết luận: $u_n=3n\cdot 4^{n-1}-2$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.