Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn: $$\{\begin{array}{l}{u}_1=\frac{1}{2}\\ u_{n+1}=\frac{u_n}{u_n+1}\end{array}.$$ Đặt $S_n=u_1+\frac{u_2}{2}+\frac{u_3}{3}+...+\frac{u_n}{n}$. Giá trị nhỏ nhất của $n$ để $S_n\ge \frac{2022}{2023}$ là bao nhiêu?

Cho dãy số $(u_n)$ có: $$\{\begin{array}{l}{u}_1=2\\ u_{n+1}-\frac{n+1}{2}=\frac{n(2u_n-n)}{n+1}-\frac{1}{2(n+1)},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$$ Tìm số hạng tổng quát $u_n$.

Cho dãy số $(u_n)$ biết số hạng tổng quát $u_n=n^2-2n+4$ $(\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$.

Một công ty dược phẩm đang thử nghiệm một loại thuốc mới. Một thí nghiệm bắt đầu với $2\cdot 10^9$ vi khuẩn. Một liều thuốc được sử dụng sau mỗi bốn giờ có thể tiêu diệt $4\cdot 10^8$ vi khuẩn. Giữa các liều thuốc, số lượng vi khuẩn tăng lên 15\%. Tìm số vi khuẩn còn sống trước lần sử dụng thuốc thứ năm.

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ được cho bởi $\{\begin{array}{l}{u}_1=-1\\ u_{n+1}=2u_n+3\end{array}$ với $n\ge 1$. Khi đó $u_3$ bằng

Với $n$ là số nguyên dương, xét các số thực dương $a_0,a_1,\dots ,a_n$ thỏa mãn các điều kiện: $a_0$ là một số nguyên, $$\sum _{i=1}^n\frac{1}{a_i}\le 1$$ và $a_i\le a_{i-1}+1$ với mọi $i\in \{1,2,\dots ,n\}$.

a) Chứng minh rằng $n\le 2a_0$.

b) Tìm hằng số $C$ nhỏ nhất để $n\le C{a}_0{\sum }_{i=1}^n\frac{1}{a_i}$ với mọi $n\ge 1$.

Cho dãy số $\left(u_n\right)$, với $u_{n-1}=2^n+1$. Giá trị $u_5$ bằng