Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $y=\frac{m\sin x+1}{\cos x+2}$ nhỏ hơn 2?

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=\tan \frac{x}{2}$ ($t\in \mathbb{R}$), khi đó $\sin x=\frac{2t}{1+t^2}$, $\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$, suy ra $y=\frac{t^2+2mt+1}{t^2+3}$. Giá trị lớn nhất của $y$ là nghiệm lớn $k$ của phương trình $(1-k)t^2+2mt+(1-3k)=0$ có nghiệm: $\Delta =0\Rightarrow m^2=(1-k)(1-3k)=3k^2-4k+1$, nên $k_{\max }=\frac{2+\sqrt{3m^2+1}}{3}$. Yêu cầu $k_{\max }<2\iff 2+\sqrt{3m^2+1}<6\iff 3m^2+1<16\iff m^2<5$. Các giá trị nguyên: $m\in \{-2,-1,0,1,2\}$, tổng cộng 5 giá trị.