Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$. Cạnh bên $SA=a\sqrt{2}$ và vuông góc với đáy $(ABCD)$. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S.ACD$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình mặt cầu $(S)$ tâm $I(2;-1;0)$ và có đường kính bằng $8$ là:

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;2;2)$, $B(-3;0;2)$, mặt phẳng $(P):x-y+z-4=0$ và các đường thẳng ${\Delta }_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{-1}$, ${\Delta }_2:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z+2}{2}$, ${\Delta }_3:\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{1}$ và ${\Delta }_4:\{\begin{array}{l}x=-2+3t\\ y=2-t\\ z=-3\end{array}$.

Một nghệ sĩ điêu khắc đang tạo ra một tác phẩm nghệ thuật bằng cách cắt các đĩa tròn từ một khối đá cẩm thạch lớn. Khối đá cẩm thạch này có hình dạng một khối cầu với phương trình: $x^2+y^2+z^2-2x-4z-7=0$. Để tạo ra các đường cắt chính xác, nghệ sĩ sử dụng một máy cắt phẳng được điều khiển bằng một hệ thống đường ray có phương trình $(d):\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{2}$. Mỗi lần điều chỉnh độ nghiêng của máy cắt sẽ tạo ra các đĩa tròn có bán kính $r$ khác nhau. Biết rằng bán kính của các đĩa thay đổi từ $r_2$ (nhỏ nhất) đến $r_1$ (lớn nhất). Hỏi tỉ lệ $\frac{r_1}{r_2}$ giữa bán kính lớn nhất và nhỏ nhất của các đĩa kim loại là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần chục)

Câu 2: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z+3{)}^2=30$ có tâm $I$. Gọi $M$ là điểm trên tia $Oz$ sao cho $M$ thuộc mặt cầu $(S)$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt cầu $(S)$ có bán kính bằng $2$, tiếp xúc với mặt phẳng $(Oyz)$ và có tâm nằm trên tia $Ox$. Phương trình của mặt cầu $(S)$ là

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=BC=AC=BD=2,AD=\sqrt{3}$; hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(BCD)$ vuông góc với nhau. Đường kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ bằng