Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. $M$ là trung điểm của $SC$, $N$ là trung điểm của $OB$. Tìm giao điểm của đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(AMN)$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $I$ là trung điểm của $SB$. Trong mặt phẳng $(SAC)$: $O$ là trung điểm $AC$, $M$ là trung điểm $SC$ nên $OM$ là đường trung bình của tam giác $SAC$, suy ra $OM\parallel SA$.

Xét $K=AM\cap DI$ (với $I$ là trung điểm $SB$, $DI$ là trung tuyến của tam giác $SBD$). Kiểm tra bằng tọa độ: đặt $A=\vec{0}$, $B=\vec{b}$, $D=\vec{d}$, $C=\vec{b}+\vec{d}$ (vì $ABCD$ hình bình hành tâm $O$, $O=\frac{\vec{b}+\vec{d}}{2}$), $S=\vec{s}$. Khi đó:
- $M=\frac{\vec{s}+\vec{b}+\vec{d}}{2}$ (trung điểm $SC$),
- $N=\frac{\vec{b}+\frac{\vec{b}+\vec{d}}{2}}{2}=\frac{3\vec{b}+\vec{d}}{4}$ (trung điểm $OB$).

Điểm $K=\frac{\vec{s}+\vec{b}+\vec{d}}{3}$ (trọng tâm tam giác $SBD$) nằm trên đường thẳng $AM$ vì $K=\frac{2}{3}M$, đồng thời $K\in (SBD)$ và $K$ nằm trên trung tuyến $DI$ của tam giác $SBD$ (vì $I$ là trung điểm $SB$).

Hai mặt phẳng $(AMN)$ và $(SBD)$ cùng chứa điểm $N$ và điểm $K$ (vì $K\in AM\subset (AMN)$ và $K\in (SBD)$). Suy ra giao tuyến là đường thẳng $KN$. Gọi $P=SD\cap KN$ (trong mặt phẳng $(SBD)$), khi đó $P=SD\cap (AMN)$.

Tính tỉ số: trong mặt phẳng $(SBD)$, dùng tọa độ theo bộ đếm $S,B,D$: $K=\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$, $N=\left(0,\frac{3}{4},\frac{1}{4}\right)$. Đường thẳng $KN$ cắt $SD$ (có tọa độ $B=0$) tại điểm có tọa độ $\left(\frac{3}{5},0,\frac{2}{5}\right)$. Vậy $P$ nằm trên đoạn $SD$ với $\frac{SP}{SD}=\frac{2}{5}$, tức $\frac{SP}{PD}=\frac{2}{3}$.

Kiểm tra trực tiếp: điểm $P=S+t(D-S)=(1-t)\vec{s}+t\vec{d}$ thuộc mặt phẳng $(AMN)$ khi tồn tại $\alpha ,\beta$ sao cho $(1-t)\vec{s}+t\vec{d}=\alpha M+\beta N$ (do $A$ là gốc). So sánh hệ số theo $\vec{s},\vec{b},\vec{d}$: từ hệ số của $\vec{b}$: $\alpha =-\frac{3\beta }{2}$; từ $\vec{d}$: $t=\frac{\alpha }{2}+\frac{\beta }{4}=-\frac{\beta }{2}$; từ $\vec{s}$: $1-t=\frac{\alpha }{2}=-\frac{3\beta }{4}=\frac{3t}{2}$, suy ra $t=\frac{2}{5}$. Kết quả trùng khớp.

Kết luận: Gọi $I$ là trung điểm $SB$, $K=AM\cap DI$ (khi đó $K$ là trọng tâm tam giác $SBD$). Trong mặt phẳng $(SBD)$, gọi $P=KN\cap SD$. Điểm $P$ chính là giao điểm của $SD$ và $(AMN)$, với $P$ nằm giữa $S$ và $D$ thỏa mãn $\frac{SP}{SD}=\frac{2}{5}$ (tức $SP=\frac{2}{3}PD$).