Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=4,SB=6,SC=10$, $\widehat{ASB}=60^{\circ }$, $\widehat{BSC}=90^{\circ }$, $\widehat{CSA}=120^{\circ }$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và $I$ là điểm sao cho $2\overrightarrow{SI}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}=\vec{0}$. Đặt $\overrightarrow{SA}=\vec{a},\overrightarrow{SB}=\vec{b},\overrightarrow{SC}=\vec{c}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4 (Phần II):

a) $\vec{a}\cdot \vec{b}=SA\cdot SB\cos 60^{\circ }=4\cdot 6\cdot \frac{1}{2}=12\ne 24$ → sai.

b) Từ $2\overrightarrow{SI}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ suy ra $\overrightarrow{SI}=-\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})$. Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$: $\overrightarrow{SG}=\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$. Do đó $\overrightarrow{GI}=\overrightarrow{SI}-\overrightarrow{SG}=-\frac{\vec{a}}{3}-\frac{5\vec{b}}{6}-\frac{5\vec{c}}{6}$; số hạng $\frac{5\vec{b}}{6}$ trong đề mang dấu $+$ nên sai.

c) Với $\vec{a}\cdot \vec{b}=12$, $\vec{a}\cdot \vec{c}=40\cos 120^{\circ }=-20$, $\vec{b}\cdot \vec{c}=0$:
$|\overrightarrow{GI}{|}^2=\frac{16}{9}+\frac{25\cdot 36}{36}+\frac{625}{9}+2\cdot \frac{5}{18}\cdot 12+2\cdot \frac{5}{18}\cdot (-20)+0=\frac{16+225+625+60-100}{9}=\frac{826}{9}$, nên $GI=\frac{\sqrt{826}}{3}$ → đúng.

d) Kiểm tra lại (báo cáo issue cho giá trị $-22$ là sai): $\overrightarrow{GI}\cdot \overrightarrow{AB}=(-\frac{\vec{a}}{3}-\frac{5\vec{b}}{6}-\frac{5\vec{c}}{6})\cdot (\vec{b}-\vec{a})=-\frac{12}{3}+\frac{16}{3}-\frac{5\cdot 36}{6}+\frac{5\cdot 12}{6}-0+\frac{5\cdot (-20)}{6}=\frac{4}{3}-30+10-\frac{100}{6}=-\frac{106}{3}$. $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{36+16-24}=2\sqrt{7}$, $|\overrightarrow{GI}|=\frac{\sqrt{826}}{3}$. $\cos \theta =\frac{-106/3}{(\sqrt{826}/3)(2\sqrt{7})}=\frac{-53}{\sqrt{5782}}\approx -0,697$, suy ra $\theta \approx 134,2^{\circ }\ne 80,6^{\circ }$ → sai.

Kết luận: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}\cdot \vec{b}=4\cdot 6\cos 60^{\circ }=12\ne 24$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{GI}=-\frac{\vec{a}}{3}-\frac{5\vec{b}}{6}-\frac{5\vec{c}}{6}$, số hạng $\frac{5\vec{b}}{6}$ phải mang dấu trừ.
c) (AI giải đề cho tôi)
$|\overrightarrow{GI}{|}^2=\frac{826}{9}$ nên $GI=\frac{\sqrt{826}}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{GI}\cdot \overrightarrow{AB}=-\frac{106}{3}$, $\cos \theta =\frac{-53}{\sqrt{5782}}\approx -0,697$ nên góc $\approx 134,2^{\circ }\ne 80,6^{\circ }$.