Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$, góc giữa $SC$ và $\text{mp}(ABC)$ là $45^{\circ }$. Hình chiếu của $S$ lên $\text{mp}(ABC)$ là điểm $H$ thuộc $AB$ sao cho $HA=2HB$. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng $SA$ và $BC$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có thể tích bằng $3a^3$ và mặt đáy $ABCD$ là hình bình hành. Biết diện tích tam giác $SAB$ bằng $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, khoảng cách giữa $SB$ và $CD$ bằng $m\cdot a$ với $m\in \mathbb{R}$. Tính giá trị $m$ và làm tròn đến hàng phần chục.

Cho khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có thể tích bằng $\frac{16}{3}$ với $AB=2$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $SCD$, trên các cạnh $AB,SD$ lần lượt lấy các điểm $E,F$ sao cho $EF$ song song $BG$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $DG$ và $EF$ bằng $\frac{m}{n}$ với $m,n$ nguyên dương và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Tính giá trị của biểu thức $2m-n$.

Cho khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có thể tích bằng $\frac{1}{12}$ với $AB=\frac{1}{2}$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $SCD$, trên các cạnh $AB,SD$ lần lượt lấy các điểm $E,F$ sao cho $EF$ song song $BG$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $DG$ và $EF$ bằng $\frac{m}{n}$ (với $m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast };\frac{m}{n}$ là phân số tối giản). Tính giá trị của biểu thức $T=2m-n$.

Cho hình lăng trụ đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, tất cả các cạnh có độ dài bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AM$ và $B{C}^{\prime }$.

Cho lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng 3, cạnh bên của lăng trụ bằng 3. Điểm $A^{\prime }$ cách đều 3 điểm $A,B$ và $C$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{A}^{\prime }$ và $B{C}^{\prime }$ (viết kết quả dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho khối chóp $S.ABC$ có $(SAB)\perp (ABC)$, $(SAC)\perp (ABC)$, $SA=a$, $AB=AC=2a$, $BC=2a\sqrt{2}$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SM$ và $AC$ bằng