Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $3a$, biết $SA\perp (ABC)$ và $SA=a\sqrt{2}$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.

a) Chứng minh rằng: $BC\perp (SAM)$

b) Tính góc giữa đường thẳng $SG$ và mặt phẳng $(ABC)$. ($G$ là trọng tâm tam giác $ABC$)

a) Vì $△ABC$ đều, $M$ là trung điểm $BC\Rightarrow BC\perp AM$ (1).

Mặt khác, $SA\perp (ABC)\Rightarrow SA\perp BC$ (2).

Từ (1) và (2), kết hợp với $SA\cap AM=A$ ta được: $\boxed{BC\perp (SAM)}$.

b) Vì $SA\perp (ABC)$ và $SG\cap (ABC)=G$ nên $AG$ là hình chiếu của $SG$ lên $(ABC)$.

Suy ra: $(SG,(ABC))=(SG,AG)=\widehat{SGA}$.

Vì $△ABC$ đều cạnh $3a$, $M$ là trung điểm $BC$ nên $AM$ là đường cao:

$$AM=\sqrt{A{B}^2-B{M}^2}=\sqrt{(3a{)}^2-{\left(\frac{3a}{2}\right)}^2}=\frac{3a\sqrt{3}}{2}.$$

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên:

$$AG=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}\cdot \frac{3a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}.$$

Trong $△SAG$ vuông tại $A$: $\tan \widehat{SGA}=\frac{SA}{AG}=\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\Rightarrow \widehat{SGA}\approx 39,23^{\circ }$.

Vậy $(SG,(ABC))\approx \boxed{39,23^{\circ }}$.