Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật có cạnh $AB=2a$, $AD=a$, tam giác $SAB$ đều và $SH\perp (ABCD)$, $H$ là trung điểm $AB$.
a) $(SA,AB)=60^{\circ }$
b) Góc phẳng nhị diện $[A;SH;D]$ là góc $\widehat{DHA}$
c) $BC\perp (SAB)$
d) $\tan (SC,(ABCD))=\frac{\sqrt{12}}{5}$

a) Đúng. Vì tam giác $SAB$ đều nên $\widehat{SAB}=60^{\circ }\Rightarrow (SA,AB)=60^{\circ }$.

b) Đúng. Vì $SH\perp (ABCD)$ nên $SH\perp HA$ và $SH\perp HD$. Suy ra góc phẳng nhị diện $[A,SH,D]$ là góc $\widehat{DHA}$.

c) Đúng. Ta có $BC\perp AB$ (do $ABCD$ là hình chữ nhật) và $BC\perp SH$ (do $SH\perp (ABCD)$). Suy ra $BC\perp (SAB)$.

d) Sai. Hình chiếu vuông góc của $SC$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là $HC$. Góc cần tìm là $\widehat{SCH}$.

Đường cao $SH=\frac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$.

Xét tam giác $HBC$ vuông tại $B$ có $HB=a,BC=a\Rightarrow HC=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$.

Vậy $\tan \widehat{SCH}=\frac{SH}{HC}=\frac{a\sqrt{3}}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}\ne \frac{\sqrt{12}}{5}$.
a) Đúng. Vì tam giác $SAB$ đều nên $\widehat{SAB}=60^{\circ }\Rightarrow (SA,AB)=60^{\circ }$.
b) Đúng. Vì $SH\perp (ABCD)$ nên $SH\perp HA$ và $SH\perp HD$. Suy ra góc phẳng nhị diện $[A,SH,D]$ là góc $\widehat{DHA}$.
c) Đúng. Ta có $BC\perp AB$ (do $ABCD$ là hình chữ nhật) và $BC\perp SH$ (do $SH\perp (ABCD)$). Suy ra $BC\perp (SAB)$.
d) Sai. Hình chiếu vuông góc của $SC$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là $HC$. Góc cần tìm là $\widehat{SCH}$.

Đường cao $SH=\frac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$.

Xét tam giác $HBC$ vuông tại $B$ có $HB=a,BC=a\Rightarrow HC=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$.

Vậy $\tan \widehat{SCH}=\frac{SH}{HC}=\frac{a\sqrt{3}}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}\ne \frac{\sqrt{12}}{5}$.