Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $C$, $AC=a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy; $\widehat{SCA}=60^0$. Gọi $H$ là hình chiếu của điểm $A$ lên cạnh $SC$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp AC$, tam giác $SAC$ vuông tại $A$ với $\widehat{SCA}=60^0$ suy ra $SA=AC\tan 60^0=a\sqrt{3}$, $SC=2a$.
a) $SA\perp (ABC)$ với $SA\subset (SAC)$ nên $(SAC)\perp (ABC)$: đúng.
b) Ta có $BC\perp AC$ và $BC\perp SA$ nên $BC\perp (SAC)$; cũng có $AB\perp SA$ nên $(SAB)\perp (SAC)$ theo giao tuyến $SA$. Do đó $d(C,(SAB))=d(C,SA)=AC=a\ne a\sqrt{2}$: sai.
c) Vì $BC\perp (SAC)$ nên góc nhị diện $[S,BC,A]$ là $\widehat{SCA}=60^0$: đúng.
d) $V(S.ABH)=V(H.SAB)$, $V(S.ABC)=V(C.SAB)$ nên tỉ số bằng $\frac{d(H,(SAB))}{d(C,(SAB))}$. Trong mặt phẳng $(SAC)$, đặt $A(0,0)$, $C(a,0)$, $S(0,a\sqrt{3})$; $H$ là chân đường vuông góc từ $A$ xuống $SC$ nên $H=\left(\frac{3a}{4},\frac{a\sqrt{3}}{4}\right)$. Khoảng cách từ $H$ đến $SA$ (trục $x=0$) là $\frac{3a}{4}$, còn $d(C,SA)=a$. Tỉ số $=\frac{3a/4}{a}=\frac{3}{4}$: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$SA\perp (ABC)$ và $SA\subset (SAC)$ nên $(SAC)\perp (ABC)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(SAB)\perp (SAC)$ theo giao tuyến $SA$ nên $d(C,(SAB))=d(C,SA)=AC=a$, không bằng $a\sqrt{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$BC\perp (SAC)$ nên góc nhị diện $[S,BC,A]$ bằng $\widehat{SCA}=60^0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tỉ số $\frac{V(S.ABH)}{V(S.ABC)}=\frac{d(H,(SAB))}{d(C,(SAB))}=\frac{3a/4}{a}=\frac{3}{4}$.