Cho lăng trụ đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có độ dài cạnh đáy bằng $4a$. Diện tích một mặt bên là $8a^2$. Khi đó thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có giá trị bằng

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ (tham khảo hình vẽ).



Mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$ vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?

Cho khối chóp $S.ABC$ có thể tích bằng $48c{m}^3$. Biết tam giác đáy $ABC$ có diện tích là $12c{m}^2$ (tham khảo hình vẽ). Khi đó khoảng cách từ đỉnh $S$ xuống mặt phẳng đáy $(ABC)$ bằng

Tập nghiệm của bất phương trình ${\log }_{\frac{1}{5}}(2x-3)<-1$ là

Tập nghiệm của bất phương trình ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x<8$ là

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông tâm $O$; cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết $AC=2SA$. Số đo góc nhị diện $[S,BD,A]$ bằng

Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có đáy là hình vuông tâm $O$, cạnh $a$. Biết $SO=2a$. Tính theo $a$ thể tích khối chóp $S.ABCD$.

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $C$, $AC=a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy; $\widehat{SCA}=60^0$. Gọi $H$ là hình chiếu của điểm $A$ lên cạnh $SC$.

Một kỹ sư thiết kế đường ray tàu lượn, mà mặt cắt của nó gồm một cung đường cong có dạng parabol và hai đoạn đường lên dốc $T_1$ và xuống dốc $T_2$ (như hình vẽ dưới đây).





Đoạn lên dốc $T_1$ và đoạn xuống dốc $T_2$ là những phần đường thẳng có hệ số góc lần lượt là 2 và $-3$. Để tàu lượn chạy êm và không bị đổi hướng đột ngột, $T_1$ và $T_2$ phải là những tiếp tuyến của cung parabol lần lượt tại các điểm chuyển tiếp $A$ và $B$.
Giả sử gốc tọa độ đặt tại $A$, độ dài 1 đơn vị trên các trục $Ox$, $Oy$ là 1 mét trên thực tế; phương trình của parabol là $y=a{x}^2+bx+c$.

Một cái hộp khối lập phương có độ dài cạnh bằng $10cm$, bên trong dựng một mô hình kim tự tháp có dạng khối chóp tứ giác đều mà đỉnh của hình chóp trùng với tâm của một mặt chiếc hộp và đáy hình vuông của khối chóp trùng với mặt đối diện còn lại của khối hộp (mô hình được làm bởi chất liệu nhựa đặc như hình vẽ dưới đây). Sau đó người ta đổ nước sao cho lấp đầy khối hộp lập phương. Thể tích lượng nước đã đổ vào khối hộp đó là $Vc{m}^3$. Tính $V$. (Kết quả quy tròn tới hàng đơn vị)

Cho đồ thị hàm số $(C)$: $y=\frac{1}{3}{x}^3+x^2-2x+1$. Tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $E\left(1;\frac{1}{3}\right)$ cắt đường thẳng $x=\frac{8}{3}$ tại điểm có tung độ bằng bao nhiêu?

Bác An gửi tiết kiệm 300 triệu đồng ở một ngân hàng với lãi suất không đổi $6\%$ / năm theo thể thức lãi kép kì hạn 1 năm. Hãy tính số năm tối thiểu gửi tiết kiệm để bác An thu được số tiền cả gốc lẫn lãi ít nhất là 500 triệu đồng.

Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng 2, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ và $SA=1$. Gọi điểm $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Tính khoảng cách từ điểm $G$ đến mặt phẳng $(SBC)$. (Kết quả quy tròn đến hàng phần chục)

Cho hình khối chóp $S.ABCD$, có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, cạnh $AD=a$, $AB=2a$. Gọi $H$ là trung điểm của cạnh $AD$. Hình chiếu vuông góc hạ từ đỉnh $S$ xuống mặt phẳng $(ABCD)$ trùng với điểm $H$.

a) Chứng minh rằng: $(SAD)\perp (ABCD)$ và $(SAB)\perp (SAD)$.

b) Biết số đo góc tạo bởi cạnh $SC$ và mặt phẳng $(SAD)$ bằng $60^0$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$.

Dân số nước $X$ sau $t$ năm tính từ năm 2026 được dự đoán theo công thức $N(t)=100.e^{0.02t}$ $(0<t\le 30)$, với $N(t)$ tính theo đơn vị triệu người. Biết rằng đạo hàm của hàm số $N(t)$ biểu thị tốc độ gia tăng dân số nước $X$. Sau bao nhiêu năm thì tốc độ gia tăng dân số lớn hơn 3 triệu người/năm?