Cho hình khối chóp $S.ABCD$, có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, cạnh $AD=a$, $AB=2a$. Gọi $H$ là trung điểm của cạnh $AD$. Hình chiếu vuông góc hạ từ đỉnh $S$ xuống mặt phẳng $(ABCD)$ trùng với điểm $H$.

a) Chứng minh rằng: $(SAD)\perp (ABCD)$ và $(SAB)\perp (SAD)$.

b) Biết số đo góc tạo bởi cạnh $SC$ và mặt phẳng $(SAD)$ bằng $60^0$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$.

(AI giải đề cho tôi)
**a) Chứng minh các mặt phẳng vuông góc**

Vì $SH\perp (ABCD)$ nên $SH\perp AD$.

- $(SAD)\perp (ABCD)$: mặt phẳng $(SAD)$ chứa đường thẳng $SH\perp (ABCD)$, theo dấu hiệu vuông góc của hai mặt phẳng ta có $(SAD)\perp (ABCD)$.

- $(SAB)\perp (SAD)$: vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AB\perp AD$; lại có $AB\perp SH$ (vì $SH\perp (ABCD)$). Suy ra $AB\perp (SAD)$ (vì $AB$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AD$ và $SH$ trong $(SAD)$). Mà $(SAB)$ chứa $AB$ nên $(SAB)\perp (SAD)$.

**b) Tính thể tích**

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $CD\perp AD$; lại có $CD\perp SH$ (vì $SH\perp (ABCD)$). Suy ra $CD\perp (SAD)$.

Vậy hình chiếu vuông góc của $C$ trên mặt phẳng $(SAD)$ là điểm $D$, do đó góc tạo bởi $SC$ và $(SAD)$ là $\angle SDC=60^{\circ }$.

Xét tam giác $SDC$ vuông tại $D$:
$$\tan \angle SDC=\frac{SC}{DC}\Rightarrow SC=DC\cdot \tan 60^{\circ }=2a\sqrt{3}.$$
$$SD=\sqrt{S{C}^2-D{C}^2}=\sqrt{12a^2-4a^2}=2a\sqrt{2}.$$

Xét tam giác $SHD$ vuông tại $H$ với $HD=\frac{a}{2}$ (do $H$ là trung điểm $AD$):
$$SH=\sqrt{S{D}^2-H{D}^2}=\sqrt{8a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{31}}{2}.$$

Thể tích khối chóp:
$$V=\frac{1}{3}\cdot AB\cdot AD\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot 2a\cdot a\cdot \frac{a\sqrt{31}}{2}=\frac{a^3\sqrt{31}}{3}.$$

**Kết luận:** $V_{S.ABCD}=\frac{a^3\sqrt{31}}{3}$.