Cho hàm số $y=x^3-3m{x}^2+3\left(m^2-1\right)x+2020$. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ sao cho hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$?

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=3x^2-6mx+3(m^2-1)=3\left[x^2-2mx+(m^2-1)\right]$, nên $y^{\prime }=0\iff x=m\pm 1$. Hàm số có cực tiểu tại $x=m+1$ và cực đại tại $x=m-1$ (hệ số $a>0$).

Viết lại $y=(x-m{)}^3-3x+m^3+2020$.

Để hàm số có GTNN trên khoảng $(0;+\infty )$ (khoảng mở), cần:
- Điểm cực tiểu thuộc khoảng: $m+1>0\iff m>-1$;
- Giá trị tại điểm cực tiểu phải nhỏ hơn giới hạn của hàm số khi $x\to 0^{+}$ (là $y(0)=2020$), tức $y(m+1)\le 2020$.

Tính $y(m+1)=1^3-3(m+1)+m^3+2020=m^3-3m+2018$.

Điều kiện: $m^3-3m+2018\le 2020\iff m^3-3m-2\le 0\iff (m-2)(m+1{)}^2\le 0\iff m\le 2$.

Kết hợp $-1<m\le 2$, các giá trị nguyên của $m$ là $m\in \{0;1;2\}$: có 3 giá trị.

Vậy đáp án A.