Cho hàm số $y=\frac{x-m^2-1}{x-m}$ có bao nhiêu giá trị nguyên m thỏa mãn $\underset{\left[0;4\right]}{\max }y=-6$

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=\frac{(x-m)-(x-m^2-1)}{(x-m{)}^2}=\frac{m^2-m+1}{(x-m{)}^2}>0$ với mọi $x\ne m$ (vì $m^2-m+1={\left(m-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0$). Vậy hàm số đồng biến trên mỗi nhánh của miền xác định $\mathbb{R}\setminus \{m\}$.

Xét các trường hợp:

(1) $m\in [0;4]$: trên $[0;m)$ hàm đồng biến và $y=1+\frac{m-m^2-1}{x-m}$ với $m-m^2-1<0$, khi $x\to m^{-}$ thì $x-m\to 0^{-}$ nên $y\to +\infty$. Do đó hàm số không có giá trị lớn nhất trên $[0;4]$, không thỏa mãn.

(2) $m<0$ hoặc $m>4$: khi đó $x-m\ne 0$ với mọi $x\in [0;4]$, hàm đồng biến trên $[0;4]$ nên $\underset{[0;4]}{\max }y=y(4)=\frac{3-m^2}{4-m}$. Giải $\frac{3-m^2}{4-m}=-6\iff 3-m^2=-24+6m\iff m^2+6m-27=0\iff [<table><tbody><tr><td>m=3</td></tr><tr><td>m=-9</td></tr></tbody></table>$. Vì $m=3\in [0;4]$ (loại theo trường hợp 2), $m=-9<0$ thỏa mãn và là số nguyên (kiểm tra: với $m=-9$, $y=\frac{x-82}{x+9}$, $y(4)=\frac{-78}{13}=-6$).

Vậy có đúng $1$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.