Cho hàm số $y=f(x)=\ln \left(x^2-2x\right)$ có đồ thị (C)

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=\ln (x^2-2x)$.

a) Tại $x=3$: $f(3)=\ln 3$, $f^{\prime }(3)=\frac{2\cdot 3-2}{9-6}=\frac{4}{3}$. Tiếp tuyến: $y=\frac{4}{3}(x-3)+\ln 3=\frac{4}{3}x-4+\ln 3\ne \frac{4}{3}x-4$. Vậy a) Sai.

b) Hàm số xác định khi $x^2-2x>0\iff x<0$ hoặc $x>2$, tức $D=(-\infty ;0)\cup (2;+\infty )\ne (2;+\infty )$. Vậy b) Sai.

c) Ta có $e^{f(x)}=x^2-2x$ và $(x-2)f^{\prime }(x)=(x-2)\cdot \frac{2x-2}{x(x-2)}=\frac{2x-2}{x}=2-\frac{2}{x}$. Phương trình trở thành $x^2-2x+2-\frac{2}{x}+\frac{2}{x}-m=0\iff m=x^2-2x+2=(x-1{)}^2+1$. Với $x\in D=(-\infty ;0)\cup (2;+\infty )$, hàm $g(x)=x^2-2x+2$ có giá trị lớn dần trên $(2;+\infty )$ với $g(x)>g(2)=2$, và trên $(-\infty ;0)$ giảm dần với $g(x)>g(0)=2$. Vậy $m\in (2;+\infty )$. Vậy c) Đúng.

d) $y^{\prime }=\frac{2x-2}{x^2-2x}$. Vậy d) Đúng.

Kết quả khớp với bảng đáp án mã đề 1007: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến tại $x=3$ là $y=\frac{4}{3}x-4+\ln 3$, khác $\frac{4}{3}x-4$ nên Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định là $D=(-\infty ;0)\cup (2;+\infty )$ nên Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình tương đương $m=x^2-2x+2$ với $x\in D$, cho $m\in (2;+\infty )$ nên Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{2x-2}{x^2-2x}$ nên Đúng.