Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, tâm $O$, $SA\perp (ABCD)$, $SA=a\sqrt{2}$. $M,N,P$ lần lượt là trung điểm $AB,SD,OD$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $C(a,a,0)$, $D(0,a,0)$, $S(0,0,a\sqrt{2})$, $O\left(\frac{a}{2},\frac{a}{2},0\right)$. a) Chiếu của $SC$ lên $(ABCD)$ là $AC=a\sqrt{2}$, nên $\tan \angle (SC,(ABCD))=\frac{SA}{AC}=\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}}=1$, góc bằng $45^{\circ }\ne 60^{\circ }$ → Sai. b) $M\left(\frac{a}{2},0,0\right)$, $N\left(0,\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)$, $P\left(\frac{a}{4},\frac{3a}{4},0\right)$. Tính $V_{BMNP}=\frac{1}{6}\left|[\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP}]\right|=\frac{1}{6}\cdot \frac{3a^3\sqrt{2}}{16}=\frac{a^3\sqrt{2}}{32}$ → Đúng. c) Vì $BC\parallel AD$, khoảng cách $d(SM,BC)=d(AD,SM)$. Tính bằng công thức thể tích (hoặc vector chung phương): $\overrightarrow{u_1}=\overrightarrow{SM}=\left(\frac{a}{2},0,-a\sqrt{2}\right)$, $\overrightarrow{u_2}=(0,1,0)$, $\overrightarrow{w}=\overrightarrow{SB}=(a,0,-a\sqrt{2})$, $\vec{n}=\overrightarrow{u_1}\times \overrightarrow{u_2}=\left(a\sqrt{2},0,\frac{a}{2}\right)$, $d=\frac{|\vec{w}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{a^2\left(2-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}{\frac{3a}{2}}=\frac{a(4-\sqrt{2})}{3}\approx 0,86a\ne a\sqrt{2}$ → Sai. d) $BD\perp AC$ (tính chất hình vuông) và $BD\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$) nên $BD\perp (SAC)$, suy ra $BD\perp SC$ → Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1007: a) S, b) Đ, c) S, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là góc $SCA$ với $\tan \angle SCA=\frac{SA}{AC}=\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}}=1$, nên góc bằng $45^{\circ }$, không phải $60^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ $M\left(\frac{a}{2},0,0\right)$, $N\left(0,\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)$, $P\left(\frac{a}{4},\frac{3a}{4},0\right)$, tích hỗn hợp $\left|[\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP}]\right|=\frac{3a^3\sqrt{2}}{16}$, nên $V_{BMNP}=\frac{a^3\sqrt{2}}{32}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $BC\parallel AD$, $d(SM,BC)=d(AD,SM)=\frac{a(4-\sqrt{2})}{3}\approx 0,86a\ne a\sqrt{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$BD\perp AC$ và $BD\perp SA$ nên $BD\perp (SAC)$, do đó $BD\perp SC$.