Cho hàm số $y=f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ (với $c\ne 0$; $ad-bc\ne 0$) có đồ thị là đường cong $(C)$ trong hình vẽ. Biết rằng $(C)$ đi qua điểm $A(0;1)$, tính $f^{\prime }(0)$.

Từ hình vẽ: đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận ngang $y=-2$. Với $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$, tiệm cận đứng là $x=-\frac{d}{c}=-1$ nên $d=c$; tiệm cận ngang là $y=\frac{a}{c}=-2$ nên $a=-2c$. Đồ thị đi qua $A(0;1)$ nên $f(0)=\frac{b}{d}=1$, suy ra $b=d=c$. Chọn $c=1$, ta được $f(x)=\frac{-2x+1}{x+1}$. Khi đó $f^{\prime }(x)=\frac{-2(x+1)-(-2x+1)}{(x+1{)}^2}=\frac{-3}{(x+1{)}^2}$. Vậy $f^{\prime }(0)=\frac{-3}{1}=-3$.