Một trạm kiểm soát không lưu X nhận tín hiệu hai máy bay đang di chuyển. Khi gắn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc tọa độ $O$ tại trạm kiểm soát, mặt phẳng $(Oxy)$ ứng với mặt đất, trục cao $Oz$ hướng lên trên, mỗi đơn vị trên hệ trục ứng với 1 km, tại một thời điểm, người ta quan sát thấy máy bay thứ nhất đang ở điểm $A(100;150;10)$, bay theo hướng vectơ $\overrightarrow{u_1}=(3;-4;0)$ với vận tốc không đổi 800 km/h. Cùng thời điểm đó, máy bay thứ hai đang ở điểm $B(-100;100;11)$, bay theo hướng vectơ $\overrightarrow{u_2}=(4;3;0)$ với vận tốc không đổi 750 km/h. Biết rằng sau $T$ phút kể từ thời điểm quan sát, khoảng cách giữa hai máy bay đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm $T$. (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

Một vật có trọng lượng $300N$ được treo bằng ba sợi dây cáp không dãn có chiều dài bằng nhau, mỗi dây cáp có một đầu được gắn tại một trong các điểm $P(-2;0;0)$, $Q\left(1;\sqrt{3};0\right)$, $R\left(1;-\sqrt{3};0\right)$ còn đầu kia gắn với vật tại điểm $S\left(0;0;-2\sqrt{3}\right)$ như hình vẽ (mỗi đơn vị trên trục tương ứng với $1N$). Gọi $\overrightarrow{F_1}$, $\overrightarrow{F_2}$, $\overrightarrow{F_3}$ tương ứng là lực căng trên các sợi dây cáp $RS$, $QS$ và $PS$. Giá trị $\left|\overrightarrow{F_1}\right|+\left|\overrightarrow{F_2}\right|+\left|\overrightarrow{F_3}\right|$ bằng bao nhiêu Niu-ton? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Trong không gian, xem mặt đất là phẳng, gắn hệ trục tọa độ $Oxyz$ trong đó mặt phẳng $Oxy$ trùng với mặt đất, trục $Ox$ hướng về phía nam, trục $Oy$ hướng về phía đông và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời (đơn vị đo trên mỗi trục là $km$). Người ta quan sát thấy có hai chiếc khinh khí cầu đang bay trên bầu trời. Tại thời điểm bắt đầu quan sát, chiếc thứ nhất đang ở vị trí điểm $A(2;1,5;0,5)$ và bay thẳng về phía Bắc với tốc độ không đổi là $60km/h$, còn chiếc thứ hai đang ở vị trí điểm $B(-1;-1;0,8)$ và bay thẳng về phía Đông với tốc độ không đổi là $40km/h$ (tham khảo hình vẽ).



Biết rằng trong suốt quá trình bay thì hai chiếc khinh khí cầu luôn giữ nguyên độ cao so với mặt đất. Khoảng cách ngắn nhất giữa hai chiếc khinh khí cầu bằng bao nhiêu $km$? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: kilômét), ra đa phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $A(30;20;4)$ đến điểm $B(50;30;6)$ trong 5 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì sẽ di chuyển đến điểm $C(a;b;c)$ sau 15 phút kể từ lúc ra đa phát hiện. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Trong không gian $Oxyz$, đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ $O(0;0;0)$, mỗi đơn vị trên một trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí $M(-688;-185;8)$, chuyển động theo đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương là $\vec{u}=(91;75;0)$ và theo hướng về đài không lưu. $N(a;b;c)$ là vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình. Tính giá trị $T=a-bc$.

Có một thiên thạch (coi như một hạt) di chuyển từ điểm A(1000,2000,3000) đến điểm B(4000,5000,6000) với tốc độ không đổi. Giả sử Trái Đất có bán kính 6400 km, và hệ thống quan sát các vật thể bay gần Trái Đất có khả năng theo dõi các thiên thạch ở độ cao không vượt quá 6000 km so với mực nước biển.

Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm trên mặt đất. Sau một khoảng thời gian, chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát 3 km về phía Nam và 2 km về phía Tây, đồng thời cách mặt đất 0,4 km, chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát 1 km về phía Bắc và 1 km về phía Đông, đồng thời cách mặt đất 0,5 km. Cùng thời điểm đó, một người đứng trên mặt đất (giả sử mặt đất là một mặt phẳng) và nhìn thấy hai khinh khí cầu nói trên. Biết rằng, so với các vị trí quan sát khác trên mặt đất, vị trí người đó đứng có tổng khoảng cách đến hai khinh khí cầu là nhỏ nhất. Hỏi tổng khoảng cách nhỏ nhất đó bằng bao nhiêu kilômét (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?