Cho hàm số $y=f(x)=\frac{3x-1}{x+5}$ có đồ thị $(C)$. Viết phương trình tiếp tuyến $(\Delta )$ với đồ thị $(C)$ biết $(\Delta )$ vuông góc với đường thẳng $(d):y=-\frac{1}{4}x+7$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=f(x)=\frac{3x-1}{x+5}$, TXĐ $\mathbb{R}\setminus \{-5\}$. Đạo hàm: $f^{\prime }(x)=\frac{3(x+5)-(3x-1)}{(x+5{)}^2}=\frac{16}{(x+5{)}^2}$. Đường thẳng $(d):y=-\frac{1}{4}x+7$ có hệ số góc $-\frac{1}{4}$, nên tiếp tuyến $(\Delta )$ vuông góc với $(d)$ có hệ số góc $k=4$. Giải $f^{\prime }(x)=4\iff \frac{16}{(x+5{)}^2}=4\iff (x+5{)}^2=4\iff x=-3$ hoặc $x=-7$ (đều thuộc TXĐ).
- Với $x_0=-3$: $y_0=\frac{-9-1}{2}=-5$, tiếp tuyến: $y=4(x+3)-5=4x+7$.
- Với $x_0=-7$: $y_0=\frac{-21-1}{-2}=11$, tiếp tuyến: $y=4(x+7)+11=4x+39$.
Vậy có hai tiếp tuyến: $({\Delta }_1):y=4x+7$ và $({\Delta }_2):y=4x+39$.