Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật tâm $O$, $SO\perp (ABCD)$, $AB=a$, $BD=2a$.

a) Gọi $I$ là trung điểm của $OA$. Chứng minh: $(SBI)\perp (SOA)$

b) Cho biết $SO=a\sqrt{3}$. Tìm góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(SOA)$

c) Gọi $J$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $SC$, $K$ là trung điểm của $SD$, $G$ là trọng tâm của tam giác $AJK$. Tìm $d(G,(ABCD))$

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $O(0;0;0)$, $S(0;0;a\sqrt{3})$. Vì $BD=2a$ nên $OB=OD=a$; tam giác $ABD$ vuông tại $A$ có $AB=a$, $BD=2a$ nên $AD=a\sqrt{3}$. Đặt $A\left(\frac{a}{2};\frac{\sqrt{3}a}{2};0\right)$, $B\left(-\frac{a}{2};\frac{\sqrt{3}a}{2};0\right)$, $C\left(-\frac{a}{2};-\frac{\sqrt{3}a}{2};0\right)$, $D\left(\frac{a}{2};-\frac{\sqrt{3}a}{2};0\right)$.

a) $I$ trung điểm $OA$: $I\left(\frac{a}{4};\frac{\sqrt{3}a}{4};0\right)$. Ta có $\overrightarrow{BI}=\left(\frac{3a}{4};-\frac{\sqrt{3}a}{4};0\right)$ và $\overrightarrow{OA}\parallel (1;\sqrt{3};0)$, nên $\overrightarrow{BI}\cdot \overrightarrow{OA}=\frac{3a}{4}-\frac{3a}{4}=0$, tức $BI\perp OA$. Mặt khác $SO\perp (ABCD)$ nên $SO\perp BI$ (vì $BI\subset (ABCD)$). Suy ra $BI\perp (SOA)$, mà $BI\subset (SBI)$ nên $(SBI)\perp (SOA)$. (đpcm)

b) Vì $BI\perp (SOA)$ nên $I$ là hình chiếu của $B$ lên $(SOA)$; góc giữa $SB$ và $(SOA)$ là góc $\widehat{BSI}$. Tính: $BI=\sqrt{\frac{9a^2}{16}+\frac{3a^2}{16}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$; $OI=\frac{OA}{2}=\frac{a}{2}$ (vì $OA=OB=a$); $SI=\sqrt{S{O}^2+O{I}^2}=\sqrt{3a^2+\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{13}}{2}$. Do đó $\tan \widehat{BSI}=\frac{BI}{SI}=\sqrt{\frac{3}{13}}$, tức góc cần tìm bằng $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{4}\approx 25,7^{\circ }$ (vì $\sin \widehat{BSI}=\frac{BI}{SB}=\frac{a\sqrt{3}/2}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{4}$, do $SB=\sqrt{S{O}^2+O{B}^2}=2a$).

c) $\overrightarrow{SC}=\left(-\frac{a}{2};-\frac{\sqrt{3}a}{2};-a\sqrt{3}\right)$, $|SC|=2a$. $\overrightarrow{IS}=\left(-\frac{a}{4};-\frac{\sqrt{3}a}{4};a\sqrt{3}\right)$, $\overrightarrow{IS}\cdot \overrightarrow{SC}=\frac{a^2}{8}+\frac{3a^2}{8}-3a^2=-\frac{5a^2}{2}$. Hình chiếu: $\overrightarrow{SJ}=\frac{\overrightarrow{SC}\cdot (-\overrightarrow{IS})}{|\overrightarrow{SC}{|}^2}\overrightarrow{SC}$ với tỉ số $t=\frac{5a^2/2}{4a^2}=\frac{5}{8}$, nên $J=S+\frac{5}{8}\overrightarrow{SC}=\left(-\frac{5a}{16};-\frac{5\sqrt{3}a}{16};\frac{3\sqrt{3}a}{8}\right)$. $K$ trung điểm $SD$: $K\left(\frac{a}{4};-\frac{\sqrt{3}a}{4};\frac{\sqrt{3}a}{2}\right)$. Trọng tâm $G$ của tam giác $AJK$ có tung độ $z$: $z_G=\frac{0+\frac{3\sqrt{3}a}{8}+\frac{\sqrt{3}a}{2}}{3}=\frac{7\sqrt{3}a}{24}$. Vậy $d(G,(ABCD))=\frac{7a\sqrt{3}}{24}$.