Cho hàm số $y=-x+2-\frac{1}{x+1}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=-x+2-\frac{1}{x+1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.

$y^{\prime }=-1+\frac{1}{(x+1{)}^2}$; $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=-2$.

a) $y^{\prime }<0\iff (x+1{)}^2<1\iff -2<x<0$ (loại $x=-1$), nên hàm nghịch biến trên $(-2;-1)$ và $(-1;0)$. → Đúng.

b) $y^{\prime \prime }=-\frac{2}{(x+1{)}^3}$: tại $x=0$, $y^{\prime \prime }=-2<0$ nên $x=0$ là điểm cực đại; tại $x=-2$, $y^{\prime \prime }=2>0$ nên $x=-2$ là điểm cực tiểu với $y_{CT}=2+2+1=5$. Đề nói $y_{CT}=5$ nhưng giá trị cực tiểu đạt tại $x=-2$ là $5$ — kiểm tra lại: $y(-2)=-(-2)+2-\frac{1}{-1}=2+2+1=5$. Vậy $y_{CT}=5$ đúng. → Đúng.

Lưu ý: tại $x=0$, $y(0)=2-1=1$ là giá trị cực đại.

c) Hàm số có giá trị cực đại bằng $1$ (tại $x=0$), nhưng trên từng nhánh hàm số không có giá trị lớn nhất (khi $x\to +\infty$, $y\to -\infty$; khi $x\to -\infty$, $y\to +\infty$). Do đó khẳng định 'giá trị lớn nhất của hàm số là 1' sai. → Sai.

d) Tâm đối xứng của đồ thị $y=ax+b+\frac{c}{x+d}$ là giao điểm hai tiệm cận: $x=-1$, $y=-x+2=3$, tức $I(-1;3)$, nên $a=-1,b=3$, $b-2a=3+2=5$. → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-1+\frac{1}{(x+1{)}^2}<0$ khi $-2<x<0$, $x\ne -1$, nên hàm nghịch biến trên $(-2;-1)$ và $(-1;0)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=0$ tại $x=-2,0$; $y^{\prime \prime }(-2)=2>0$ nên cực tiểu tại $x=-2$, $y_{CT}=y(-2)=2+2+1=5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y(0)=1$ chỉ là giá trị cực đại; hàm số không có giá trị lớn nhất trên tập xác định vì $y\to +\infty$ khi $x\to -\infty$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $x=-1$ và $y=-x+2=3$, tức $I(-1;3)$; $b-2a=3-2(-1)=5$.