Cho hàm số $y=\frac{x-2}{x-1}$ có đồ thị $(C)$.
a) Tập xác định của hàm số đã cho là $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
b) Hàm số $f(x)$ đồng biến trên tập xác định.
c) Tiệm cận đứng của đồ thị $(C)$ có phương trình là $x=1$.
d) Đồ thị $(C)$ là đường cong như hình bên:

(AI giải đề cho tôi)
a) Hàm số $y=\frac{x-2}{x-1}$ xác định khi $x-1\ne 0\iff x\ne 1$, nên tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{1\}$. → Đúng.
b) $y^{\prime }=\frac{(x-1)-(x-2)}{(x-1{)}^2}=\frac{1}{(x-1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne 1$, nhưng hàm số không liên tục tại $x=1$ nên chỉ đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$, không đồng biến trên toàn tập xác định. → Sai.
c) Vì ${\lim }_{x\to 1^{\pm }}\frac{x-2}{x-1}=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng là $x=1$. → Đúng.
d) Đồ thị là hyperbol có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$, đi qua điểm $(0;2)$ và $(2;0)$, các nhánh đồng biến — khớp với hình vẽ. → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện xác định: $x\ne 1$, nên TXĐ là $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{1}{(x-1{)}^2}>0$ nhưng hàm số gián đoạn tại $x=1$, nên chỉ đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$, không đồng biến trên toàn tập xác định.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 1^{\pm }}y=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng là $x=1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có TCĐ $x=1$, TCN $y=1$, qua $(0;2)$, $(2;0)$, các nhánh đồng biến — đúng như hình vẽ.