Cho hàm số $y=f(x)=x^3+3x^2-2$ có đồ thị $(C)$.
a) $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$.
b) Đồ thị $(C)$ cắt trục $Oy$ tại điểm có tọa độ $(-2;0)$.
c) Hàm số $f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-2;0)$.
d) Hàm số trên có bảng xét dấu $f^{\prime }(x)$ như hình sau:

$x$	$-\infty$		$-2$		$0$		$+\infty$
$f^{\prime }(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai vì $f^{\prime }(x)=3x^2+6x$ (không phải $3x^2-6x$). b) Sai vì tại $x=0$ thì $y=-2$, đồ thị cắt trục $Oy$ tại $(0;-2)$. c) Đúng vì $f^{\prime }(x)<0$ khi $-2<x<0$. d) Đúng vì $f^{\prime }(x)=3x(x+2)=0\iff x=-2$ hoặc $x=0$, với $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-2)$ và $(0;+\infty )$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-2;0)$, đúng như bảng đã cho.
a) (AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2+6x$, nên khẳng định $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$ là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=0$: $f(0)=-2$, nên đồ thị cắt trục $Oy$ tại điểm $(0;-2)$, không phải $(-2;0)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x^2+6x=3x(x+2)<0$ khi $-2<x<0$, nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(-2;0)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=0\iff x=-2$ hoặc $x=0$; $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-2)$ và $(0;+\infty )$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-2;0)$, đúng như bảng xét dấu đã cho.