Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=\frac{\ln (3x)}{x}$ trên đoạn $\left[\frac{1}{2};2\right]$.

Thang điểm (mỗi bước 0,25 điểm):
+ Tính đúng $f^{\prime }(x)=\frac{1-\ln (3x)}{x^2}$
+ Tính đúng $f^{\prime }(x)=0\iff \ln (3x)=1\iff x=\frac{e}{3}$
+ Tính đúng: $f\left(\frac{1}{2}\right)=2\ln \frac{3}{2}$, $f(2)=\frac{\ln 6}{2}$, $f\left(\frac{e}{3}\right)=\frac{3}{e}$
+ KL đúng: GTNN là $f(3)=2\ln \frac{3}{2}$. (Ghi chú: bản gốc in '$f(3)$'; khả năng in nhầm, giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=\frac{1}{2}$, tức $f\left(\frac{1}{2}\right)=2\ln \frac{3}{2}$.)