Một nhà máy sản xuất X hoạt động tại khu vực gần một dòng suối lớn. Trong quá trình sản xuất, nhà máy thải ra một lượng chất ô nhiễm đáng kể vào môi trường, gây ảnh hưởng nghiêm trọng đến chất lượng nước và sức khoẻ cộng đồng. Để cải thiện tình hình và tuân thủ các quy định về bảo vệ môi trường, nhà máy đã quyết định đầu tư vào một hệ thống xử lý nước thải hiện đại. Chi phí để loại bỏ $x\%$ chất ô nhiễm từ nguồn nước thải được mô hình hoá bởi hàm số $C(x)=\frac{2x+1}{1-0,01x}$ (triệu đồng), $0\le x<100$. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Hàm chi phí $C(x)=\frac{2x+1}{1-0,01x}$, $0\le x<100$.
a) $C(20)=\frac{41}{1-0,2}=\frac{41}{0,8}=51,25$ triệu đồng $\ne 51,52$ → Sai.
b) Tập xác định $0\le x<100$ nên không thể xử lý $x=100$; hơn nữa $C(x)\to +\infty$ khi $x\to 100^{-}$ → Đúng.
c) $C(x)\le 200\iff 2x+1\le 200(1-0,01x)=200-2x\iff 4x\le 199\iff x\le 49,75$ → Đúng.
d) Lợi nhuận $P(x)=R(x)-C(x)=12x-240-\frac{2x+1}{1-0,01x}$, $x\in [20;100)$. $P^{\prime }(x)=12-\frac{2,01}{(1-0,01x{)}^2}$; $P^{\prime }(x)=0\iff 1-0,01x=\sqrt{2,01/12}\approx 0,4093\iff x\approx 59,07$. Khi đó $C\approx \frac{119,14}{0,4093}\approx 291,1$, $R\approx 468,9$, $P\approx 177,8>177$ triệu đồng → Đúng. Khớp đáp án chính thức: a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
C(20)=41/0,8=51,25 triệu đồng, không phải 51,52.
b) (AI giải đề cho tôi)
Miền xác định 0≤x<100 và C(x)→+∞ khi x→100⁻ nên không thể loại bỏ 100%.
c) (AI giải đề cho tôi)
C(x)≤200 ⇔ 4x≤199 ⇔ x≤49,75%.
d) (AI giải đề cho tôi)
P(x)=12x−240−C(x) đạt max tại x≈59,07 với P≈177,8>177 triệu đồng.