Cho hàm số $y=f(x)=\sin x$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)$.

Cho hàm số $f(x)=a{x}^2+bx+c$, $(a\ne 0)$ thỏa mãn ${\int }_0^{1}f(x)dx=-\frac{7}{2}$, ${\int }_0^{2}f(x)dx=-2$. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $[0;2]$.

Biết $F(x)=x^2$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$. Tính ${\int }_0^1\left[1+f(x)\right]dx$.

Nhân dịp đi dã ngoại, lớp 12A1 dự kiến dựng một cái trại có dạng hình parabol như hình vẽ. Nền của lều trại là một hình chữ nhật có kích thước bề ngang 3 mét, chiều dài 5 mét, đỉnh trại cách nền 3 mét. Thể tích phần không gian bên trong lều trại bằng bao nhiêu mét khối?

Cho $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f(x)dx=2$, $\underset{1}{\overset{4}{\int }}f(t)dt=6$. Khi đó, $\underset{3}{\overset{4}{\int }}f(x)dx$ bằng

Cho tích phân $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(\cos \frac{\pi }{2}x\right)dx=\frac{a}{\pi }+\frac{b}{c}$ với $a,b,c$ là những số nguyên dương và phân số $\frac{b}{c}$ tối giản. Tính giá trị của biểu thức $T=a+b+c$.

Người ta dự định lắp kính cho cửa của một vòm có dạng parabol như hình bên dưới. Hãy tính diện tích mặt kính (theo đơn vị $m^2$) cần lắp vào, biết rằng vòm cửa cao $21\text{m}$ và rộng $70\text{m}$.