Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có tất cả các cạnh bằng $a$, G là trọng tâm tam giác ABC.

(AI giải đề cho tôi)
Xét lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cạnh $a$.
a) Sai: $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng độ dài $a$ nhưng khác phương (góc $60^{\circ }$), nên $\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{AC}$.
b) Đúng: $C{C}^{\prime }\perp (ABC)$ nên $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}\perp \overrightarrow{AB}$, do đó ${\left|\overrightarrow{C{C}^{\prime }}+\overrightarrow{AB}\right|}^2=a^2+a^2=2a^2$, tức $\left|\overrightarrow{C{C}^{\prime }}+\overrightarrow{AB}\right|=a\sqrt{2}$.
c) Sai: vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{A^{\prime }B}+\overrightarrow{A^{\prime }C}=3\overrightarrow{A^{\prime }G}\ne \overrightarrow{A^{\prime }G}$.
d) Sai: theo c), $\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{A^{\prime }B}+\overrightarrow{A^{\prime }C}=3\overrightarrow{A^{\prime }G}$. Ta có $AG=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$, $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$ nên $A^{\prime }G=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{3}}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$. Vậy $\left|\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{A^{\prime }B}+\overrightarrow{A^{\prime }C}\right|=3\cdot \frac{2a\sqrt{3}}{3}=2a\sqrt{3}\ne \frac{2a\sqrt{3}}{3}$. (Kiểm tra bằng tọa độ: $A(0;0;0),B(a;0;0),C(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};0),A^{\prime }(0;0;a)$, tổng vectơ $=(\frac{3a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};-3a)$, độ dài $\sqrt{12a^2}=2a\sqrt{3}$.)
a) (AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ cùng độ dài $a$ nhưng khác phương (góc $60^{\circ }$), nên $\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{AC}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{C{C}^{\prime }}\perp \overrightarrow{AB}$ nên $\left|\overrightarrow{C{C}^{\prime }}+\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$: $\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{A^{\prime }B}+\overrightarrow{A^{\prime }C}=3\overrightarrow{A^{\prime }G}\ne \overrightarrow{A^{\prime }G}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng bằng $3\overrightarrow{A^{\prime }G}$ với $A^{\prime }G=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$, nên độ dài bằng $2a\sqrt{3}\ne \frac{2a\sqrt{3}}{3}$.