Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như sau

Số các giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f(\pi x)-\frac{m^2-1}{8}=0$ có hai nghiệm phân biệt là

Đặt $t=\pi x$, với mỗi nghiệm $t$ cho tương ứng duy nhất một nghiệm $x=\frac{t}{\pi }$.
Phương trình trở thành $f(t)=\frac{m^2-1}{8}$.
Dựa vào đồ thị hàm số, phương trình $f(t)=k$ có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
$k=3\text{hoặc}-2<k<1.$
Vì $k=\frac{m^2-1}{8}\ge -\frac{1}{8}$ với mọi $m$, nên:
- Trường hợp 1: $\frac{m^2-1}{8}=3⟺m^2=25⟺m=\pm 5$ (2 giá trị nguyên).
- Trường hợp 2: $-\frac{1}{8}\le \frac{m^2-1}{8}<1⟺0\le m^2<9⟺m\in \{-2;-1;0;1;2\}$ (chú ý kiểm tra số giao điểm tại các giá trị cực trị).
Tổng số giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn là 5.