Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và có một nguyên hàm là hàm số $y=\frac{1}{2}{x}^2-x+1$. Giá trị của biểu thức ${\int }_1^{2}f(x^2)dx$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục có đồ thị như hình bên dưới. Biết $F^{\prime }(x)=f(x),\forall x\in [-5;2]$ và ${\int }_{-3}^{-1}f(x)dx=\frac{14}{3}$. Tính $F(2)-F(-5)$.


Câu 8. Cho $f(x)$ là hàm số liên tục trên đoạn $[1;2]$. Biết $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ trên đoạn $[1;2]$ thỏa mãn $F(2)=6$ và $F(4)=3$. Tính ${\int }_2^{4}f(x)\mathrm{d}x$.

Câu 5. Biết ${\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}\sin x\mathrm{d}x=\frac{a}{2}+\frac{\sqrt{2}}{b}$ ($a,b\in \mathbb{Z}$). Tính giá trị của biểu thức $P=6a+b$.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và $f(x)>0,\forall x\in \mathbb{R}$. Biết $f^{\prime }(x)=f(x)e^x$ và $f(1)=e$. Kết quả của $J={\int }_0^2\ln (f(x))dx$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên đoạn $[1;4]$ và $f(1)=2,f(4)=10$. Giá trị của $I={\int }_1^4{f}^{\prime }(x)dx$ là:

Tích phân ${\int }_1^2(x+3{)}^{2}dx$ bằng