Cho hàm số $y=f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có bảng biến thiên như hình vẽ.



Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Hàm số $y=f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên $\mathbb{R}$, suy ra a) Sai.
b) Hàm số có hai điểm cực trị, suy ra b) Đúng.
c) $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$. Đồ thị hàm số đi qua $M(0;2),N(2;-2)$ và $f^{\prime }(x)$ có hai nghiệm $x=0;x=2$ nên ta có $d=2;c=0$ và $$\{\begin{array}{l}12a+4b=0\\ 8a+4b=-4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=1\\ b=-3\end{array}$$ Vậy $y=f(x)=x^3-3x^2+2$. Tọa độ điểm $A(-1;-2)$ nghiệm đúng $y=f(x)=x^3-3x^2+2$ nên đồ thị của hàm số đi qua điểm $A(-1;-2)$, suy ra c) Đúng.
d) $g^{\prime }(x)=3-2f^{\prime }(x)$. Từ BBT ta có $\forall x\in (0;2)$ thì $f^{\prime }(x)<0\iff g^{\prime }(x)=3-2f^{\prime }(x)>0$, $\forall x\in (0;2)$. Vậy hàm số $g(x)=3x-2f(x)$ đồng biến trên khoảng $(0;2)$, suy ra d) Sai.


a) Hàm số $y=f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên $\mathbb{R}$. Suy ra a) Sai.
b) Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại $x=0$ và cực tiểu tại $x=2$, nên hàm số có hai điểm cực trị. Suy ra b) Đúng.
c) $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$. Đồ thị hàm số đi qua $M(0;2),N(2;-2)$ và $f^{\prime }(x)$ có hai nghiệm $x=0;x=2$ nên ta có $d=2;c=0$ và
$$\{\begin{array}{l}12a+4b=0\\ 8a+4b=-4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=1\\ b=-3\end{array}$$
Vậy $y=f(x)=x^3-3x^2+2$. Tọa độ điểm $A(-1;-2)$ nghiệm đúng $y=f(x)=x^3-3x^2+2$ nên đồ thị của hàm số đi qua điểm $A(-1;-2)$. Suy ra c) Đúng.
d) $g^{\prime }(x)=3-2f^{\prime }(x)$. Từ BBT ta có $\forall x\in (0;2)$ thì $f^{\prime }(x)<0\iff -2f^{\prime }(x)>0\iff g^{\prime }(x)=3-2f^{\prime }(x)>0$, $\forall x\in (0;2)$. Vậy hàm số $g(x)=3x-2f(x)$ đồng biến trên khoảng $(0;2)$. Suy ra d) Sai.