Cho hàm số $y=f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ $(a\ne 0)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số cắt Ox tại ba điểm $x=-1,x=1,x=3$, có $f(0)=-2$ và điểm cao nhất (cực đại) tại $x=2$ với $f(2)=2$. Vậy $f(x)=a(x+1)(x-1)(x-3)$. Với $f(0)=-2$: $a(1)(-1)(-3)=3a=-2\Rightarrow a=-\frac{2}{3}$. Suy ra $f(x)=-\frac{2}{3}(x^3-3x^2-x+3)=-\frac{2}{3}{x}^3+2x^2+\frac{2}{3}x-2$, tức $a=-\frac{2}{3},b=2,c=\frac{2}{3},d=-2$.

a) $f^{\prime }(x)=-2x^2+4x+\frac{2}{3}$; $f^{\prime }(x)=0\iff x=1\pm \frac{2}{\sqrt{3}}$. Vì $a<0$, hàm đạt cực đại tại $x=1+\frac{2}{\sqrt{3}}\approx 2,15\ne 1$ (trên đồ thị điểm cực đại rõ ràng ở $x=2$). → Sai.

b) Đồ thị cắt Ox tại $x=1$ (thay $x=1$: $f(1)=0$), tọa độ $(1;0)$. → Đúng.

c) Hàm đồng biến trên khoảng giữa hai điểm cực trị $\left(1-\frac{2}{\sqrt{3}};1+\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\approx (-0,15;2,15)$, không đồng biến trên toàn $(0;3)$ (trên $(2,15;3)$ hàm nghịch biến). → Sai.

d) $3a+2b+d=3\left(-\frac{2}{3}\right)+2(2)+(-2)=-2+4-2=0\ne 7$. → Sai.

Kết quả S-Đ-S-S khớp với đáp án chính thức mã 201 (SDSS). Lưu ý: nhận xét trong dữ liệu lỗi (dùng các điểm $f(1)=-2,f(3)=0$) là sai vì theo đồ thị $f(1)=0$ (đồ thị cắt Ox tại $x=1$) và $f(3)=0$ là nghiệm thứ ba, không phải điểm với tung độ tự do; khi giải đúng hệ từ ba nghiệm $-1,1,3$ và $f(0)=-2$, không có mâu thuẫn với đáp án.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cực đại tại $x=1+\frac{2}{\sqrt{3}}\approx 2,15$ (điểm cao nhất trên đồ thị ở $x=2$), không phải $x=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị cắt Ox tại $x=-1,x=1,x=3$; trong đó có điểm $(1;0)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm chỉ đồng biến trên $\left(1-\frac{2}{\sqrt{3}};1+\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\approx (-0,15;2,15)$, nên không đồng biến trên toàn $(0;3)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $a=-\frac{2}{3},b=2,d=-2$ thì $3a+2b+d=-2+4-2=0\ne 7$.