Cho hàm số $y=f(x)=2x^3-3x^2+1$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f\left(f\left(\frac{2\sin x+1}{2}\right)\right)=f(m)$ có nghiệm?

Đặt $t=\frac{2\sin x+1}{2}=\sin x+\frac{1}{2}$. Vì $\sin x\in [-1;1]$ nên $t\in \left[-\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right]$. Xét hàm số $f(t)=2t^3-3t^2+1$ trên $\left[-\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right]$: $f^{\prime }(t)=6t^2-6t=6t(t-1)=0\iff t=0$ hoặc $t=1$. Ta có $f\left(-\frac{1}{2}\right)=0$, $f(0)=1$, $f(1)=0$, $f\left(\frac{3}{2}\right)=1$. Do đó khi $t\in \left[-\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right]$ thì $u=f(t)\in [0;1]$. Với $u\in [0;1]$, hàm số $f(u)$ nhận giá trị trong $[0;1]$ (vì $f(0)=1,f(1)=0$). Do đó phương trình có nghiệm khi $f(m)\in [0;1]\iff 0\le 2m^3-3m^2+1\le 1$. Xét $2m^3-3m^2+1\ge 0\iff (m-1{)}^2(2m+1)\ge 0\iff m\ge -\frac{1}{2}$; và $2m^3-3m^2\le 0\iff m^2(2m-3)\le 0\iff m\le \frac{3}{2}$ hoặc $m=0$. Giao lại ta được $m\in \left[-\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right]$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{0;1\}$, có 2 giá trị nguyên thỏa mãn. Theo đáp án chính thức (Mã đề 731, trang 13), chọn A.