Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[1;5]$. Biết ${\int }_1^{3}f(x)dx=4$ và ${\int }_3^{5}f(x)dx=-2$. Giá trị của $I={\int }_1^{5}f(x)dx$ bằng

Nếu ${\int }_2^{-1}f(x)\text{d}x=-3$ thì ${\int }_{-1}^2\frac{1}{3}f(x)\text{d}x$ bằng

Cho ${\int }_1^2\left[3f(x)-g(x)\right]\text{d}x=10$ và ${\int }_1^{2}f(x)\text{d}x=3$. Khi đó ${\int }_1^{2}g(x)\text{d}x$ bằng

Nếu ${\int }_1^{2}f(x)\text{d}x=3$ và ${\int }_2^{3}f(x)\text{d}x=-5$ thì ${\int }_1^{3}f(x)\text{d}x$ bằng

Cho hàm số $f(x)=a{x}^4+b{x}^2+1,(a\ne 0;a,b\in \mathbb{R})$ mà đồ thị hàm số $f^{\prime \prime }(x)$ và đồ thị hàm số $f(x)$ có một điểm chung duy nhất và nằm trên $Oy$ (hình vẽ bên dưới), trong đó $\pm x_1$ là nghiệm của $f(x)$ và $\pm x_2$ là nghiệm của $f^{\prime \prime }(x)$ $(x_1>0;x_2>0)$. Biết $x_1=3x_2$, tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $f(x)$; $f^{\prime \prime }(x)$ và trục $Ox$.

Cho hàm số $y=f(x)=a{x}^4+b{x}^2+c$ có đồ thị $(C)$, biết rằng $(C)$ đi qua điểm $A(-1;0)$, tiếp tuyến $d$ tại $A$ của $(C)$ cắt $(C)$ tại hai điểm có hoành độ lần lượt là $0$ và $2$. Khi diện tích hình phẳng giới hạn bởi $d$, đồ thị $(C)$ và hai đường thẳng $x=0;x=2$ có diện tích bằng $\frac{28}{5}$ (phần gạch sọc) thì ${\int }_{-1}^{0}f(x)\text{d}x$ bằng

Cho parabol $y=x^2$ và tiếp tuyến $At$ tại $A(1;1)$. Diện tích phần gạch chéo là: