Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, khoảng cách từ điểm $A(1;0;0)$ tới mặt phẳng $(P):2x+2y-z+1=0$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng $(\alpha ):x+2y-3z+2=0$?

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$, có $f^{\prime }(x)=x(x-1)(x+2{)}^2$. Số điểm cực trị của hàm số $f(x)$ là

Thống kê điểm thi tốt nghiệp môn Toán THPT năm 2024 của một lớp 12 thu được kết quả như sau:



Khoảng biến thiên của mẫu số liệu thống kê trên bằng

Cấp số cộng $(u_n):-10,-7,-4,-1,\dots$ có công sai bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau



Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=f(x)$ có phương trình là

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[1;5]$. Biết ${\int }_1^{3}f(x)dx=4$ và ${\int }_3^{5}f(x)dx=-2$. Giá trị của $I={\int }_1^{5}f(x)dx$ bằng

Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải cách nhau tối thiểu $1\text{ m}$. Ô tô A đang chạy với vận tốc $15\text{ m/s}$ thì gặp ô tô B đang dừng đèn đỏ phía trước. Người lái xe A đạp phanh và ô tô A chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t)=15-3t$ ($\text{m/s}$), trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ thời điểm ô tô A bắt đầu đạp phanh.

Hộp thứ nhất có $8$ viên bi gồm màu xanh và màu đỏ, hộp thứ hai có $2$ viên bi màu xanh và một số viên bi màu đỏ. Chọn ngẫu nhiên từ mỗi hộp $2$ viên bi. Gọi $A$ là biến cố “Chọn được $2$ viên bi màu xanh ở hộp thứ nhất” và $B$ là biến cố “Chọn được $2$ viên bi màu xanh ở hộp thứ hai”. Biết $P(A)=\frac{3}{28}$ và $P(B)=\frac{1}{15}$. Khi đó:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;-3;2),B(-2;1;-3)$.

Trong buổi tổng duyệt văn nghệ tại sân trường, một drone được sử dụng để ghi hình toàn cảnh. Trong $15$ giây đầu kể từ khi cất cánh, do hệ thống tự động điều chỉnh lực đẩy để tiết kiệm pin, độ cao của drone (tính bằng mét) tại thời điểm $t$ giây, được mô tả gần đúng bởi $h(t)=-0,05t^3+0,6t^2+3t$ ($0\le t\le 15$). Cùng thời điểm đó, một thang nâng sân khấu bắt đầu nâng thẳng đứng từ mặt sân với vận tốc không đổi $1\text{ m/s}$.

Một hộp chứa $100$ cái thẻ được đánh số thứ tự liên tiếp từ $1$ đến $100$. Hai thẻ khác nhau thì đánh số thứ tự khác nhau. Chọn ngẫu nhiên $3$ thẻ trong hộp. Có bao nhiêu cách chọn $3$ thẻ có số thứ tự lập thành cấp số cộng, đồng thời có tổng không vượt quá $150$?

Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử khi sản xuất và bán hết $x$ sản phẩm ($0<x\le 2500$), tổng số tiền doanh nghiệp thu được là $f(x)=2026x-x^2$ và tổng chi phí là $g(x)=x^2+1438x-1209$ (đơn vị: nghìn đồng). Giả sử mức thuế phụ thu trên một đơn vị sản phẩm bán được là $t$ (nghìn đồng) ($0<t<320$). Giá trị của $t$ bằng bao nhiêu nghìn đồng để nhà nước nhận được số tiền thuế phụ thu lớn nhất và doanh nghiệp cũng nhận được lợi nhuận lớn nhất theo mức thuế phụ thu đó?

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác đều cạnh $2\sqrt{2}$. Hình chiếu của $A^{\prime }$ lên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với trung điểm của $BC$ và biết rằng góc nhị diện $[C^{\prime },BC,A]=135^{\circ }$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A^{\prime }B$ và $A{C}^{\prime }$. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Hằng năm, trường THPT M tổ chức các đoàn đi thăm hỏi và chúc Tết tứ thân phụ mẫu cao tuổi của cán bộ, giáo viên và nhân viên trong trường. Đoàn số 1 có nhiệm vụ đến thăm $4$ gia đình tại các địa điểm $A,B,C,D$. Đoàn xuất phát từ trường THPT M, đến thăm đủ $4$ gia đình (mỗi gia đình đúng một lần). Sau khi thăm xong gia đình cuối cùng, đoàn kết thúc hành trình tại đó (không quay về trường). Do điều kiện giao thông dịp cuối năm, đoạn đường $AB$ chỉ có thể đi theo chiều từ $A$ đến $B$, không đi được theo chiều ngược lại (hình vẽ). Đoàn số 1 đã chọn được lộ trình di chuyển có tổng quãng đường di chuyển ngắn nhất. Tổng quãng đường ngắn nhất đó dài bao nhiêu km?

Trong giờ thể dục học về kỹ thuật chuyền bóng hơi, Bình và An tập chuyền bóng cho nhau. Ở một động tác Bình chuyền bóng cho An, quả bóng bay lên cao nhưng lại lệch sang bên trái của An và rơi xuống vị trí cách chỗ An đứng $0,5\text{ m}$ và cách chỗ Bình $4,5\text{ m}$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho gốc tọa độ $O$ tại vị trí của Bình, vị trí của An nằm trên tia $Ox$ và mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt đất (tham khảo hình vẽ).



Biết rằng quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng $(\alpha ):x+by+cz+d=0$ và $(\alpha )$ vuông góc với mặt đất. Khi đó, giá trị của $-3b^2-c^2+2d^2$ bằng bao nhiêu?

Lớp 10C có $45$ học sinh trong đó có $25$ em thích môn Văn, $20$ em thích môn Toán, $18$ em thích môn Sử, $6$ em không thích môn nào, $5$ em thích cả ba môn. Có bao nhiêu học sinh thích chỉ một trong ba môn học trên?