Cho hàm số $f(x)=a{x}^4+b{x}^2+1,(a\ne 0;a,b\in \mathbb{R})$ mà đồ thị hàm số $f^{\prime \prime }(x)$ và đồ thị hàm số $f(x)$ có một điểm chung duy nhất và nằm trên $Oy$ (hình vẽ bên dưới), trong đó $\pm x_1$ là nghiệm của $f(x)$ và $\pm x_2$ là nghiệm của $f^{\prime \prime }(x)$ $(x_1>0;x_2>0)$. Biết $x_1=3x_2$, tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $f(x)$; $f^{\prime \prime }(x)$ và trục $Ox$.

Cho parabol $y=x^2$ và tiếp tuyến $At$ tại $A(1;1)$. Diện tích phần gạch chéo là:

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)$ liên tục trên $[0;2]$ và $f(2)=3;{\int }_0^{2}f(x)dx=3$. Tính $I={\int }_0^{2}x\cdot f^{\prime }(x)dx$.

Cho hai hàm số $f(x)=-\frac{1}{2}{x}^4+a{x}^2+b;(a,b\in \mathbb{R})$ có đồ thị $(C)$ và $g(x)=m{x}^2+nx+p;(m,n,p\in \mathbb{R})$ có đồ thị $(P)$ như hình vẽ. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(C)$ và $(P)$ có giá trị nằm trong khoảng nào sau đây?

Cho ${\int }_2^{5}f(x)\mathrm{d}x=10$. Khi đó ${\int }_5^2[2-4f(x)]\mathrm{d}x$ bằng

Một chiếc đèn lồng có trục đối xứng thẳng đứng, chiều cao $30\text{ cm}$. Thiết kế của đèn đảm bảo tại mọi độ cao, mặt cắt ngang vuông góc với trục luôn là một hình vuông (tham khảo hình vẽ). Hai đáy là hai hình vuông bằng nhau có cạnh $L_0=10\text{ cm}$. Tại vị trí rộng nhất, mặt cắt ngang là hình vuông có cạnh $L_{\max }=20\text{ cm}$. Mặt cắt của đèn lồng theo mặt phẳng đứng chứa đường chéo đáy là hình phẳng được giới hạn bởi hai đường chéo của hai đáy và hai đường parabol đối xứng nhau qua trục thẳng đứng của đèn. Xét một đường cong parabol $y=f(x)$ trong số bốn đường cong tạo nên khung đèn lồng. Đường cong này được mô tả trong hệ trục tọa độ $Oxy$ với trục $Ox$ trùng với trục đối xứng (biểu diễn chiều cao) của đèn, đơn vị trên các trục là $1\text{ cm}$. Giả sử lớp vỏ đèn có độ dày không đáng kể, thể tích của chiếc đèn lồng đó là bao nhiêu lít?
[IMAGE_1]

Câu 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y=4x-x^2$ và $y=2x$ bằng