Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x-2}{\sqrt{x+2}-2}& \text{khi }x\ne 2\\ 4& \text{khi }x=2\end{array}$. Chọn mệnh đề đúng?

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 2$: $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x-2}{\sqrt{x+2}-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)}{(x+2)-4}=\underset{x\to 2}{\lim }(\sqrt{x+2}+2)=2+2=4$.

Vì $f(2)=4=\underset{x\to 2}{\lim }f(x)$ nên hàm số liên tục tại $x=2$ → chọn A.

Kiểm tra các phương án khác: B sai vì hàm liên tục; C sai vì $f(4)=\frac{4-2}{\sqrt{6}-2}=\frac{2(\sqrt{6}+2)}{2}=\sqrt{6}+2\ne 2$; D sai vì giới hạn bằng 4 chứ không phải 2.