Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{1}{x\ln x}$ thỏa mãn $F\left(\frac{1}{e}\right)=2$ và $F(e)=\ln 2$. Giá trị của biểu thức $F\left(\frac{1}{e^2}\right)+F(e^2)$ bằng

Ta có $\int \frac{1}{x\ln x}dx=\int \frac{d(\ln x)}{\ln x}=\ln |\ln x|+C$.
Vì hàm số xác định trên $(0;1)\cup (1;+\infty )$ nên nguyên hàm có dạng:
$F(x)=\{\begin{array}{ll}\ln (-\ln x)+C_1& \text{khi }0<x<1\\ \ln (\ln x)+C_2& \text{khi }x>1\end{array}$
- Với $x=\frac{1}{e}\in (0;1)$: $F\left(\frac{1}{e}\right)=\ln (-\ln (e^{-1}))+C_1=\ln 1+C_1=C_1=2$.
Do đó với $x\in (0;1)$ thì $F(x)=\ln (-\ln x)+2$.
Suy ra $F\left(\frac{1}{e^2}\right)=\ln (-\ln (e^{-2}))+2=\ln 2+2$.
- Với $x=e\in (1;+\infty )$: $F(e)=\ln (\ln e)+C_2=\ln 1+C_2=C_2=\ln 2$.
Do đó với $x\in (1;+\infty )$ thì $F(x)=\ln (\ln x)+\ln 2$.
Suy ra $F(e^2)=\ln (\ln (e^2))+\ln 2=\ln 2+\ln 2=2\ln 2$.
Vậy $F\left(\frac{1}{e^2}\right)+F(e^2)=(\ln 2+2)+2\ln 2=3\ln 2+2$. Chọn A.