Cho đường tròn $(C):(x-1{)}^2+y^2=10$ và điểm $A(4;1)$. Khi đó, phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C)$ tại điểm $A$ có phương trình tham số dạng $\{\begin{array}{l}x=4+at\\ y=1-2t\end{array}$ $(a\in \mathbb{R})$. Tìm $a$ (làm tròn đến hai chữ số thập phân).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra $A(4;1)$ thuộc đường tròn $(C)$ tâm $I(1;0)$, bán kính $R=\sqrt{10}$: $(4-1{)}^2+1^2=10$ đúng. Vectơ bán kính $\overrightarrow{IA}=(3;1)$. Tiếp tuyến tại $A$ nhận $\overrightarrow{IA}$ làm vectơ pháp tuyến, nên vectơ chỉ phương của tiếp tuyến có dạng $(1;-3)$ (vì $3\cdot 1+1\cdot (-3)=0$). Phương trình tham số tiếp tuyến: $\{\begin{array}{l}x=4+t\\ y=1-3t\end{array}$. Theo đề, tiếp tuyến có dạng $\{\begin{array}{l}x=4+at\\ y=1-2t\end{array}$, hai vectơ chỉ phương $(a;-2)$ và $(1;-3)$ phải cùng phương: $\frac{a}{1}=\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3}\Rightarrow a=\frac{2}{3}\approx 0,67$. Kết quả trùng với đáp án nguồn 0,67.