Cho đường tròn $(C):(x-1{)}^2+y^2=10$ và điểm $A(4;1)$. Khi đó, phương trình tiếp tuyến của đường tròn $(C)$ tại điểm $A$ có phương trình tham số dạng $\{\begin{array}{l}x=4+at\\ y=1-2t\end{array}$ $(a\in \mathbb{R})$. Tìm $a$ (làm tròn đến hai chữ số thập phân).

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):(x-1{)}^2+y^2=10$ có tâm $I(1;0)$, bán kính $R=\sqrt{10}$. Kiểm tra $A(4;1)$: $I{A}^2=(4-1{)}^2+(1-0{)}^2=10=R^2$ nên $A$ thuộc $(C)$. Vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến tại $A$ là $\overrightarrow{IA}=(3;1)$, do đó vectơ chỉ phương của tiếp tuyến là $\vec{u}=(1;-3)$. Phương trình tham số tiếp tuyến: $\{\begin{array}{l}x=4+t\\ y=1-3t\end{array}$. Theo đề, tiếp tuyến có dạng $\{\begin{array}{l}x=4+at\\ y=1-2t\end{array}$, nên vectơ $(a;-2)$ phải cùng phương với $(1;-3)$: $\frac{a}{1}=\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3}\Rightarrow a=\frac{2}{3}\approx 0,67$. Kết quả trùng với đáp án nguồn 0,67.