Cho dãy số $(u_n)$ cho bởi công thức truy hồi: $$\{\begin{array}{l}{u}_1=2025\\ u_{n+1}=n.u_n\end{array}(\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }).$$ Số hạng $u_3$ của dãy số là

Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn: $$\{\begin{array}{l}{u}_1=\frac{1}{2}\\ u_{n+1}=\frac{u_n}{u_n+1}\end{array}.$$ Đặt $S_n=u_1+\frac{u_2}{2}+\frac{u_3}{3}+...+\frac{u_n}{n}$. Giá trị nhỏ nhất của $n$ để $S_n\ge \frac{2022}{2023}$ là bao nhiêu?

(2.0 điểm)
1. Cho dãy số $(u_n)$ là một cấp số nhân có số hàng đầu $u_1=1$, công bội $q=2$. Chứng minh rằng: $\frac{1}{u_3-u_1}+\frac{1}{u_4-u_2}+\frac{1}{u_5-u_3}+...+\frac{1}{u_{2025}-u_{2023}}<\frac{2}{3}$.
2. Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi: $$\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ u_{n+1}=4u_n+3.4^n+6,n\in N^{\ast }\end{array}.$$ Tìm số hạng tổng quát $u_n$.

Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n=\frac{n^2+3n+7}{n+1}$. Dãy số đó có tất cả bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên?

Cho dãy số $(u_n)$ có: $$\{\begin{array}{l}{u}_1=2\\ u_{n+1}-\frac{n+1}{2}=\frac{n(2u_n-n)}{n+1}-\frac{1}{2(n+1)},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$$ Tìm số hạng tổng quát $u_n$.

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ có số hạng tổng quát $u_n=\frac{2n+1}{n}\left(n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right)$. Số hạng thứ 10 của dãy số đã cho là

Cho dãy số $(u_n)$ biết số hạng tổng quát $u_n=n^2-2n+4$ $(\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$.