Cho các số thực $a,b$ thỏa mãn điều kiện $0<b<a<1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P={\log }_{\frac{a}{b}}\frac{4(3b-1)}{9}+8{\left({\log }_{\frac{b}{a}}a\right)}^2-1$.

Ta có $(3b-2{)}^2\ge 0\iff 9b^2-12b+4\ge 0\iff \frac{4(3b-1)}{9}\le b^2$.
Vì $0<b<a<1\Rightarrow \frac{a}{b}>1$, nên:
${\log }_{\frac{a}{b}}\frac{4(3b-1)}{9}\le \dots \text{ do cơ soˆˊ }>1.$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số dương:
$P\ge 8{\left({\log }_{\frac{b}{a}}a\right)}^2+\frac{1}{{\log }_{\frac{b}{a}}a}+\frac{1}{{\log }_{\frac{b}{a}}a}+1\ge 3\sqrt[3]{8\cdot 1\cdot 1}+1=3\cdot 2+1=7.$

Đẳng thức xảy ra khi $b=\frac{2}{3}$ và $a=\frac{\sqrt[3]{2}}{3}$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $7$.