Cho $\Delta ABC$ đều cạnh $a$, $d$ là đường thẳng qua $A$ và song song với $BC$; khi $M$ di động trên $d$ thì giá trị nhỏ nhất của $|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}|$ là:

Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\vec{0}\iff 2\overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$.
Khi đó với mọi $M$: $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI}$.
Do đó $|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}|=2MI$.
Vì $M\in d$ nên $MI$ nhỏ nhất khi $M$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên đường thẳng $d$.
Vì $d\parallel BC$ nên khoảng cách từ $I$ đến $d$ bằng khoảng cách từ hình chiếu của $I$ vuông góc với $BC$, tính được $d(I,d)=\frac{a\sqrt{3}}{4}$.
Vậy giá trị nhỏ nhất là $2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{4}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.