Cho các số thực dương $x,y$ thỏa mãn $x+2y=1$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=xy+\frac{1}{2xy}$ gần giá trị nào nhất sau:

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: $1=x+2y\ge 2\sqrt{2xy}\Rightarrow 2xy\le \frac{1}{4}\Rightarrow xy\le \frac{1}{8}$.
Đặt $t=xy$ với $0<t\le \frac{1}{8}$. Khi đó $P(t)=t+\frac{1}{2t}$.
Xét hàm số $f(t)=t+\frac{1}{2t}$ trên $\left(0;\frac{1}{8}\right]$: $f^{\prime }(t)=1-\frac{1}{2t^2}<0$ với mọi $0<t\le \frac{1}{8}$.
Do đó hàm số nghịch biến trên $\left(0;\frac{1}{8}\right]$.
Giá trị nhỏ nhất là $\min P=f\left(\frac{1}{8}\right)=\frac{1}{8}+\frac{1}{2\cdot \frac{1}{8}}=\frac{1}{8}+4=4,125$.
Giá trị 4,125 gần nhất với 4,1.