Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=1$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=\frac{a+bc}{1+bc}+\frac{b+ca}{1+ca}+\sqrt{c+2021}$ bằng

Chọn C.
Ta có $a+bc=a(a+b+c)+bc=a^2+a(b+c)+bc\ge a^2+2a\sqrt{bc}+bc=(a+\sqrt{bc}{)}^2$.
Lại có $1+bc=(a+b+c{)}^2+bc\ge (a+\sqrt{bc}{)}^2$.
Do đó $\frac{a+bc}{1+bc}\ge a$.
Tương tự, $\frac{b+ca}{1+ca}\ge b$.
Suy ra:
$$A\ge a+b+\sqrt{c+2021}=1-c+\sqrt{c+2021}.$$
Xét hàm số $f(c)=1-c+\sqrt{c+2021}$ với $c\in [0;1]$:
Ta có $f^{\prime }(c)=-1+\frac{1}{2\sqrt{c+2021}}<0,\forall c\in [0;1]$.
Do đó $f(c)$ nghịch biến trên $[0;1]$, suy ra:
$$f(c)\ge f(1)=1-1+\sqrt{1+2021}=\sqrt{2022}.$$
Đẳng thức xảy ra khi $a=0,b=0,c=1$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $A$ là $\sqrt{2022}$.