Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$, cạnh đáy bằng $a$. Các điểm $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA,SC$. Biết rằng $BM$ vuông góc với $AN$. Thể tích của khối chóp bằng

Chọn B.
Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $SAC$. Qua $G$ kẻ đường thẳng song song với $MB$ cắt $BC$ ở $E$. Khi đó $\Delta EGA$ vuông tại $G$.


Đặt $SA=SB=SC=x$.
Ta có: $E{A}^2=E{B}^2+B{A}^2-2EB\cdot BA\cos 60^{\circ }=\frac{7a^2}{9}$.
Độ dài trung tuyến: $A{N}^2=\frac{2(a^2+x^2)-x^2}{4}=\frac{2a^2+x^2}{4}\Rightarrow A{G}^2=\frac{4}{9}A{N}^2=\frac{2a^2+x^2}{9}$.
Vì $\Delta EGA$ vuông cân tại $G$ nên $E{A}^2=2A{G}^2\iff \frac{7a^2}{9}=\frac{4a^2+2x^2}{9}\Rightarrow x=a\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$.
Chiều cao của hình chóp đều:
$$SO=\sqrt{S{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{x^2-{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{2}-\frac{a^2}{3}}=\sqrt{\frac{7a^2}{6}}=\frac{a\sqrt{42}}{6}.$$
Thể tích khối chóp là:
$$V=\frac{1}{3}{S}_{\Delta ABC}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a\sqrt{42}}{6}=\frac{a^3\sqrt{126}}{72}=\frac{3a^3\sqrt{14}}{72}=\frac{a^3\sqrt{14}}{24}.$$