Câu 4. Để treo một chậu cây người ta cần lấy trên miệng của chậu cây đó $3$ điểm và sử dụng $3$ đoạn dây có độ dài bằng nhau để nối $3$ điểm đó với một điểm treo (xem hình minh hoạ). Giả sử trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, ba điểm trên miệng của chậu cây là $A(0;1;2),B(2;-2;1),C(-2;0;1)$; điểm treo $M(a;b;c)$ nằm trên mặt phẳng $(\alpha ):2x+2y+z-3=0$. Bình phương khoảng cách từ điểm $M$ đến gốc toạ độ $O$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;-2;3),B(2;5;4)$. Độ dài của $\overrightarrow{AB}$ bằng

Câu 2. Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ với $A(1;1;2)$, $B(5;1;-2)$ và $C(3;5;0)$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

Trạm không lưu sân bay Đà Nẵng xây dựng hệ tọa độ $Oxyz$ (gốc $O$ đặt tại Đà Nẵng) để theo dõi vị trí các chuyến bay. Lúc 6h máy bay A xuất phát từ Đà Nẵng đến TPHCM theo tia $OA$ lần lượt hợp với ba tia $Ox;Oy;Oz$ các góc bằng nhau với vận tốc $800$ km/h. Mười phút sau máy bay B đi Hà Nội theo tia $OB$ hợp với ba tia $O{x}^{\prime };O{y}^{\prime };Oz$ các góc bằng nhau với vận tốc $900$ km/h (hình vẽ minh họa). Tính khoảng cách (đơn vị km và làm tròn đến hàng đơn vị) giữa hai máy bay A và B lúc 6h30'.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u}=(\sin t;\cos t;1),\vec{v}=(\cos t;\sin t;-1)$ với $t\in \mathbb{R}$. Với giá trị nào của $t$ dưới đây thì $\vec{u}$ vuông góc với $\vec{v}$?

Cho tứ diện OABC vuông tại O có OA = 2a, OB = 3a, OC = 4a . Gọi M , N , P lần lượt là điểm
đối xứng với điểm O qua trung điểm ba cạnh AB, BC , CA của tam giác ABC .

Thể tích của tứ diện OMNP bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u}(1;1;-2)$ và $\vec{v}(1;0;m)$. Gọi $S$ là tập hợp các giá trị $m$ để $\cos (\vec{u},\vec{v})=\frac{\sqrt{6}}{6}$. Tổng các phần tử của $S$ là