Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u}=(\sin t;\cos t;1),\vec{v}=(\cos t;\sin t;-1)$ với $t\in \mathbb{R}$. Với giá trị nào của $t$ dưới đây thì $\vec{u}$ vuông góc với $\vec{v}$?

Cho tứ diện OABC vuông tại O có OA = 2a, OB = 3a, OC = 4a . Gọi M , N , P lần lượt là điểm
đối xứng với điểm O qua trung điểm ba cạnh AB, BC , CA của tam giác ABC .

Thể tích của tứ diện OMNP bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u}(1;1;-2)$ và $\vec{v}(1;0;m)$. Gọi $S$ là tập hợp các giá trị $m$ để $\cos (\vec{u},\vec{v})=\frac{\sqrt{6}}{6}$. Tổng các phần tử của $S$ là

Câu 6: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(2;-3;5)$. Khẳng định nào sau đây là sai?

Câu 4: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có độ dài cạnh bên và cạnh đáy đều bằng $10$. Tính $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{SC}$.

Câu 5: Một ngôi nhà gỗ nhỏ gồm hai phần. Phần thân nhà có dạng hình hộp chữ nhật $ABCD.OMNK$ có chiều dài $OK$ bằng $6\text{ m}$, chiều rộng $OM$ bằng $4\text{ m}$, chiều cao $3\text{ m}$. Phần mái nhà có dạng hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bên bằng nhau và có chiều cao bằng $2,5\text{ m}$. Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ sao cho $M$ thuộc tia $Ox$, $K$ thuộc tia $Oy$, $A$ thuộc tia $Oz$ (như hình vẽ) (mỗi đơn vị độ dài trên hệ trục ứng với $1\text{ m}$). Tìm $\cos \widehat{MSK}$ (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Trong không gian $Oxyz$, cho hai véctơ $\vec{a}=(1;-2;1)$ và $\vec{b}=(2;-4;-2)$. Khi đó $\vec{a}\cdot \vec{b}$ bằng