Trong không gian $Oxyz$, cho hai véctơ $\vec{a}=(1;-2;1)$ và $\vec{b}=(2;-4;-2)$. Khi đó $\vec{a}\cdot \vec{b}$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u}=(1;2;0)$ và $\vec{v}=(-2;1;3)$. Tọa độ của vectơ $\vec{u}+\vec{v}$ là

Một sân vận động với sân bóng phẳng hình chữ nhật có chấm trắng trung tâm là nơi giao bóng, một đường kẻ vạch chia đôi sân và các khán đài. Khán đài A gồm những dãy ghế nằm vuông góc với vạch chia đôi sân có độ cao tăng dần (các ghế cùng hàng thì cùng độ cao so với mặt sân). Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $O$ trùng với điểm giao bóng, mặt phẳng $Oxy$ trùng với mặt sân, trục $Ox$ trùng với vạch chia đôi sân, tia $Oz$ vuông góc với mặt sân (đơn vị đo lấy theo mét).
Một khán giả ngồi tại vị trí $M$ của khán đài A, có hình chiếu vuông góc lên mặt phẳng chứa sân là một điểm thuộc $Ox$. Góc hợp bởi $OM$ và mặt sân là $\alpha$ với $\sin \alpha =\frac{1}{3}$, nếu người này di chuyển $10\text{ (m)}$ trên hàng ngang đó đến ngồi tại một vị trí $N$ thì góc hợp bởi $ON$ và mặt sân là $\beta$ với $\sin \beta =\frac{\sqrt{10}}{10}$. Gọi $h\text{ (m)}$ là độ cao tại $M$ so với mặt sân.

[IMAGE:img_q16_stadium]

Cần trục chân đế là kiểu cột quay được sử dụng để phục vụ công việc xếp đỡ hàng hóa chủ yếu ngoài các cảng bến, bãi (hình ảnh minh họa).

[IMAGE:img_q19_crane]

Ta chọn hệ trục $Oxyz$ thỏa mãn $(Oxy)$ song song với mặt đất, trục $Ox$ trùng với trục chân đế, trục $Oz$ trùng với trục cần cẩu và trục $Oy$ như hình vẽ. Gọi $M$ là vị trí tại đỉnh cần cẩu, $H$ là hình chiếu của $M$ lên $(Oxy)$. Biết tay cần $KM$ của cần trục dài $50\text{ m}$, trục cần $OK$ dài $50\text{ m}$, $(\vec{k};\overrightarrow{KM})=60^{\circ },(\vec{i};\overrightarrow{OH})=45^{\circ }$. Biết điểm $M$ có tọa độ $M(a;b;c)$ trong hệ toạ độ $Oxyz$ trên, giá trị của $a+b+c$ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Một kho chứa hàng có dạng hình lăng trụ đứng $ABFPE.DCGQH$ với $ABFE$ là hình chữ nhật và $EFP$ là tam giác cân tại $P$. Gọi $T$ là trung điểm của $DC$. Các kích thước của kho chứa lần lượt là $AB=6\text{ m}$; $AE=5\text{ m}$; $AD=8\text{ m}$; $QT=7\text{ m}$. Người ta mô hình hoá nhà kho bằng cách chọn hệ trục toạ độ có gốc toạ độ là điểm $O$ thuộc đoạn $AD$ sao cho $OA=2\text{ m}$ và các trục toạ độ tương ứng như hình vẽ dưới đây.



Khi đó:

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho $A(2;-2;1)$, $B(0;1;2)$. Toạ độ điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho 3 điểm $A$, $B$, $M$ thẳng hàng là

Một cuộc diễn tập phòng không được đặt trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ với 1 đơn vị độ dài trên các trục tính bằng 1 km trên thực tế. Một bệ phóng tên lửa phòng không được đặt tại vị trí $O(0;0;0)$ và tên lửa bay theo một đường thẳng với vận tốc không đổi là 600 m/s. Một máy bay không người lái bay theo một đường thẳng với vận tốc không đổi là 1080 km/h và bay theo hướng của vectơ $\vec{u}=(-3;4;0)$. Khi phát hiện máy bay không người lái tại vị trí $A(6;-20;1)$ thì tên lửa khai hỏa, rời bệ phóng và sau đó bắn hạ được mục tiêu. Hỏi khoảng cách từ bệ phóng tên lửa đến vị trí máy bay không người bị bắn hạ bằng bao nhiêu km? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục, giả sử cả máy bay không người lái và tên lửa đều không chịu tác động của trọng lực hay lực cản không khí).