Một kho chứa hàng có dạng hình lăng trụ đứng $ABFPE.DCGQH$ với $ABFE$ là hình chữ nhật và $EFP$ là tam giác cân tại $P$. Gọi $T$ là trung điểm của $DC$. Các kích thước của kho chứa lần lượt là $AB=6\text{ m}$; $AE=5\text{ m}$; $AD=8\text{ m}$; $QT=7\text{ m}$. Người ta mô hình hoá nhà kho bằng cách chọn hệ trục toạ độ có gốc toạ độ là điểm $O$ thuộc đoạn $AD$ sao cho $OA=2\text{ m}$ và các trục toạ độ tương ứng như hình vẽ dưới đây.



Khi đó:

Trong không gian $Oxyz$, có hai trục $Ox,Oy$ đặt trên mặt đất (coi mặt đất là một mặt phẳng); tia $Oz$ hướng lên trên; đơn vị trên các trục tính bằng $\text{km}$. Một Ra đa đặt tại điểm $A(12;8;3)$ có khả năng phát hiện các thiết bị bay trong vòng bán kính $30\text{ km}$ (các thiết bị bay cách Ra đa một khoảng không quá $30\text{ km}$ sẽ hiển thị hình ảnh trên màn hình của Ra đa). Một chiếc UAV (thiết bị bay không người lái) đang bay từ điểm $M(72;28;3)$ đến điểm $N(-32;-30;3)$ với vận tốc không đổi là $240\text{ km/h}$. Hình ảnh của UAV xuất hiện trên màn hình của Ra đa bao nhiêu phút? (Không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị).

Câu 3. Khi khắc phục hậu quả của thiên tai, bão lũ, một trong những giải pháp nhằm tiếp tế hàng cứu trợ đến những nơi khó tiếp cận là sử dụng flycam để xác định vị trí chính xác của người cần cứu trợ, sau đó sử dụng drone để vận chuyển các vật dụng thiết yếu thả xuống cho người này, giúp họ có thể cầm cự trong khi chờ đợi lực lượng cứu hộ đến nơi. Hai chiếc drone làm nhiệm vụ chuyển hàng cứu trợ bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất bay đến điểm cách điểm xuất phát $2,5\text{ km}$ về phía nam và $1,5\text{ km}$ về phía đông, đồng thời cách mặt đất $60\text{ m}$. Chiếc thứ hai bay đến điểm cách điểm xuất phát $3\text{ km}$ về phía bắc và $2,5\text{ km}$ về phía tây, đồng thời cách mặt đất $40\text{ m}$. Trong không gian, xét hệ tọa độ $Oxyz$ với gốc tọa độ $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc drone, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất (được coi là mặt phẳng). Giả sử trong trường hợp khẩn cấp cần tìm một vị trí trên mặt đất để tiếp nhiên liệu và các vật dụng cứu trợ cho hai drone sao cho tổng khoảng cách từ vị trí tiếp nhiên liệu tới hai drone nhỏ nhất. Vị trí cần tìm cách gốc tọa độ $a\text{ km}$ theo hướng bắc và $b\text{ km}$ theo hướng tây. Khi đó $a+b$ bằng bao nhiêu?

Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, đơn vị trên các trục là centimet, một quả cầu có trọng lượng $60\text{ N}$ được đặt tại vị trí điểm $O$ và được treo vào trần nhà tại các vị trí $A,B,C,D,E$ sao cho $O.ABCDE$ là hình chóp ngũ giác đều và tâm đường tròn ngoại tiếp ngũ giác $ABCDE$ thuộc tia $Oz$; biết $A(0;40;60)$; như hình vẽ.

Một đội khảo sát đang sử dụng hai phương tiện giám sát trên không:
- Flycam $A$ đang bay ở vị trí $A(1;-3;4)$.
- Flycam $B$ đang bay ở vị trí $B(-2;1;2)$.
Trên mặt đất bằng phẳng (mặt phẳng $(Oxy)$), có hai robot cảm biến mặt đất $M$ và $N$ di chuyển để thu tín hiệu từ hai thiết bị trên. Hai robot $M$ và $N$ luôn giữ khoảng cách $2$ mét với nhau để duy trì mạng lưới truyền thông nội bộ. Robot $M$ nhận dữ liệu từ Flycam $A$, còn robot $N$ nhận tín hiệu từ Flycam $B$. Tính tổng khoảng cách nhỏ nhất từ các robot đến thiết bị tương ứng (tức là $AM+BN$ nhỏ nhất), kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.

Câu 3. Trong không gian $Oxyz$, một vật được treo bằng ba sợi dây không dãn, mỗi sợi dây có một đầu lần lượt được gắn tại các điểm $A(-2;-1;0)$, $B(2;-1;0)$, $C(0;4;0)$, còn đầu kia được gắn với vật tại điểm $D(0;0;-4)$ như hình vẽ (trong đó mặt phẳng $(Oxy)$ song song với mặt đất, trục $Oz$ hướng thẳng lên trên). Biết rằng mỗi sợi dây được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là 15 N. Để không dây nào bị đứt thì trọng lượng tối đa của vật bằng bao nhiêu Niutơn? (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười).

Trong bản thiết kế của dự án lắp đặt đường dây điện cho vùng núi tỉnh A, các kĩ sư thiết kế các trụ điện cao $120\text{ m}$. Để giữ thăng bằng cho trụ điện, người ta kéo dây cáp nối từ đỉnh trụ $S$ xuống mặt đất tại các điểm $A,B,C$ sao cho $S.ABC$ là hình chóp tam giác đều, khoảng cách từ chân trụ đến các điểm tiếp đất bằng $40\sqrt{3}\text{ m}$. Tuy nhiên trong thực tế, do sườn núi dốc $10^{\circ }$ so với mặt biển nên vị trí tiếp đất của dây cáp tại $A,B^{\prime },C^{\prime }$ (với $B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$ song song thân trụ điện, tham khảo hình vẽ). Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với $O$ trùng với chân trụ điện, mặt phẳng $(Oxy)$ song song với mặt biển, điểm $A$ thuộc tia $Oy$, trục $Oz$ hướng lên trên. Khi đó, tổng độ dài của ba dây cáp $SA,S{B}^{\prime },S{C}^{\prime }$ bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị mét.)