Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hình vuông $ABCD$ trong đó điểm $A$ thuộc đường thẳng $d_1:x+y-1=0$ và $C,D$ nằm trên đường thẳng $d_2:2x-y+3=0$. Tìm tọa độ điểm $A$, $D$, $C$ và tọa độ điểm $M$ thuộc trục $Ox$ sao cho $P=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}\right|+2MC$ đạt giá trị nhỏ nhất, biết hình vuông $ABCD$ có diện tích bằng 5 và điểm $A$ có hoành độ dương, điểm $C$ có hoành độ âm.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $C,D$ thuộc $d_2$ nên cạnh $CD$ nằm trên $d_2$, do đó $AD\perp d_2$ và khoảng cách từ $A$ đến $d_2$ bằng cạnh hình vuông $a=\sqrt{5}$ (diện tích 5).
$A=(t;1-t)$ thuộc $d_1$: $d(A,d_2)=\frac{|2t-(1-t)+3|}{\sqrt{5}}=\frac{|3t+2|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\Rightarrow |3t+2|=5\Rightarrow t=1$ hoặc $t=-\frac{7}{3}$. Vì $A$ có hoành độ dương nên $A=(1;0)$.
Đường qua $A$ vuông góc $d_2$: $(x;y)=(1;0)+s(2;-1)$; thay vào $d_2$: $2(1+2s)-(-s)+3=0\Rightarrow 5+5s=0\Rightarrow s=-1\Rightarrow D=(-1;1)$.
Vì $C$ thuộc $d_2$ và $DC=\sqrt{5}$ theo phương chỉ của $d_2$ là $\vec{u}=(1;2)$ ($|\vec{u}|=\sqrt{5}$) nên $C=D\pm (1;2)$, tức $C=(0;3)$ hoặc $C=(-2;-1)$ (kiểm tra cả hai đều thỏa $2x-y+3=0$). Vì $C$ có hoành độ âm nên $C=(-2;-1)$. Kiểm tra hình vuông: $\overrightarrow{AD}=(-2;1)$, $\overrightarrow{DC}=(-1;-2)$, $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{DC}=2-2=0$, $|AD|=|DC|=\sqrt{5}$ ✓.
Ta có $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}\right|=2MI$ với $I$ trung điểm $AD=\left(0;\frac{1}{2}\right)$, nên $P=2(MI+MC)$.
Với $M=(m;0)$ trên trục $Ox$: $I=\left(0;\frac{1}{2}\right)$ nằm phía trên trục $Ox$, $C=(-2;-1)$ nằm phía dưới, nên đoạn $IC$ cắt trục $Ox$. Theo bất đẳng thức tam giác $MI+MC\ge IC=\sqrt{(-2{)}^2+{\left(-\frac{3}{2}\right)}^2}=\frac{5}{2}$, dấu '=' khi $M$ là giao điểm của $IC$ với $Ox$.
Phương trình đoạn $IC$: $\frac{x}{-2}+\frac{y}{1/2}=1$; với $y=0$ ta được $x=-\frac{2}{3}$, tức $M=\left(-\frac{2}{3};0\right)$.
Khi đó $P_{\min }=2\cdot \frac{5}{2}=5$ (kiểm tra: $MI=\frac{5}{6}$, $MC=\frac{5}{3}$, $P=\frac{5}{3}+\frac{10}{3}=5$).
Vậy $A(1;0)$, $D(-1;1)$, $C(-2;-1)$, $M\left(-\frac{2}{3};0\right)$, $P_{\min }=5$.